Construcción del mapa espacial de Poincaré y el mapa del plan de fases para escaleras mecánicas, parte 1

Su autor señala la confirmación de la naturaleza del conjunto fractal de los datos de pasos inteligentes.

En este estudio, el mapa espacial de Poincaré y el mapa del plan de fases (sección de Poincaré) se construyen a partir de rastros de datos medidos obtenidos al ejecutar el escalón inteligente en una escalera mecánica descargada (sin carga de pasajeros). Los mapas construidos han confirmado nuestro hallazgo anterior de que los datos del paso inteligente tienen una naturaleza de conjunto fractal. Los trazos / atractores se pueden describir como periódicos en formas de bucle semielíptico cerrado, que tienen diferentes tamaños, ya que el escalón inteligente completa una sola carrera / ronda en la escalera mecánica. Los tamaños de los bucles se hacen más grandes con la progresión en la ejecución a lo largo de la coordinación de las variables, luego vuelven a tamaños pequeños a medida que regresan a su posición de origen. Los mapas también muestran el efecto de amortiguación, en la mitad y al final de la carrera, en forma de pequeños bucles. Los datos de los mapas dan una indicación de una relación lineal en el comportamiento de los parámetros medidos. Las construcciones del mapa espacial de Poincaré y el mapa del plan de fase confirman que los datos del paso inteligente tienen un comportamiento de conjunto fractal. También sugieren cuán determinista o caótico es el comportamiento de las variables en la escalera mecánica. Este podría ser un concepto muy útil para clasificar y categorizar las escaleras mecánicas en función de sus programas de mantenimiento.

Introducción

Los diseños de sistemas mecánicos se basan en la utilización de relaciones lineales entre varios parámetros de ingeniería,^{[ 1 ]} tales como tensión versus deformación, fuerza de fricción versus temperatura, etc. Los ingenieros usan estas relaciones para construir máquinas y estructuras, pero como en cualquier máquina complicada, como una escalera mecánica, estas relaciones están interconectadas entre sí por dentro; por lo tanto, la verdad del asunto es que estas relaciones lineales funcionan en un grado limitado. En un sistema mecánico como una escalera mecánica, los componentes y subconjuntos interactúan entre sí, generando fuerzas de fricción, efectos / fuerzas de vibración y calor, que aumentan la temperatura, provocando que el sistema se comporte de forma no lineal o propiamente caótica. Este comportamiento podría cubrirse en la teoría del caos,^{[ 2 ]} que es lo que estamos haciendo en este trabajo.

Los movimientos caóticos de los sistemas mecánicos o eléctricos se clasifican en:

1. equilibrio
2. Movimiento periódico o ciclo límite
3. Cuasiperiódico^{[ 1 ]}

El comportamiento y el patrón de un sistema no lineal (caótico) se puede estudiar trazando los comportamientos de los parámetros y variables del sistema en mapas de dos o tres dimensiones, como el mapa del plan de fase bidimensional y el mapa de Poincaré tridimensional. Los comportamientos de parámetros y variables se representan en líneas de trayectorias.^{[ 3 ]}

Las líneas de representación en el mapa del plan de fases de cualquiera de las tres clases anteriores se denominan atractores. Hay un cuarto atractor nuevo, que se llama atractor extraño. Es caótico (impredecible), especialmente cuando hay una pequeña incertidumbre en las condiciones iniciales de los parámetros graficados. El atractor extraño también se puede llamar conjunto fractal.^{[ 4 ]}

El estado de equilibrio se representa como un punto en el plan de fase, mientras que el movimiento periódico o ciclo limitado se representa con una curva / bucle cerrado, y el movimiento cuasiperiódico se representa como una superficie en un espacio de fase tridimensional. El conjunto fractal de un atractor extraño parece una colección de conjuntos infinitos de hojas o superficies paralelas, algunas de las cuales están separadas por distancias que se acercan a la escala infinitesimal.^{[ 4 ]}

El conjunto fractal, o atractor extraño, se puede describir en un modelo matemático (ecuación), que se puede utilizar como lenguaje para describir las características y el comportamiento del sistema. El modelo deberá estar respaldado con un experimento para registrar su comportamiento y cuantificar algunos de sus parámetros. Los modelos matemáticos pueden adoptar una de estas tres formas:

1. Ecuación diferencial (o flujo)
2. Ecuación de diferencia (llamada mapas)
3. Ecuaciones dinámicas de símbolos

El término "flujo" se refiere a un conjunto de trayectorias en el espacio de fase que se originan en las condiciones iniciales. La historia de tiempo continuo de una partícula en una línea en el mapa o el espacio es el ejemplo más familiar de un flujo para aquellos en vibraciones de ingeniería.^{[1, 5, 6]}

Las secciones que cruzan las líneas de los atractores en el mapa o el espacio se denominan secciones de Poincaré o mapas de planos de fases. Un grupo de estas secciones en un entorno de coordinación 3D también puede denominarse mapas de Poincaré. El mapa de Poincaré se utiliza para distinguir entre varios estados cualitativos de movimiento, como periódico, cuasiperiódico o caótico.^{[ 1 ]}

Se construye un mapa de Poincaré midiendo las variables dinámicas. Por ejemplo, en un problema de variables de estado n, se puede obtener una sección de Poincaré midiendo las n-1 variables cuando la n-ésima variable alcanza algún valor particular, o cuando las trayectorias del espacio de fase cruzan algún plano arbitrario en la fase plana. Si se tiene conocimiento de la historia temporal entre dos penetraciones de este plano, se puede relacionar la posición en tn + 1 con la de tn a través de funciones dadas.^{[6, 7, 8]}

Medidas de pasos inteligentes

Se construyó un escalón inteligente para correr en una escalera mecánica recientemente renovada.^{[ 9 ]} Se montaron ocho galgas extensométricas en diferentes ubicaciones en el paso, como se muestra en la Figura 1. Las galgas se ubicaron en ubicaciones críticas en el paso después de realizar el Análisis de Elementos Finitos, o FEA, una simulación en un modelo 3D para el paso. El escalón se cargó mediante pruebas de diferencial axial, de torsión y de cadena, según las recomendaciones de la norma BS EN 115.

Construyendo el mapa

Las galgas extensométricas en el escalón inteligente miden solo una variable (deformaciones o tensiones) contra el tiempo.^{[9, 10]} El mapa espacial de Poincaré y el mapa del plan de fases para el comportamiento no lineal de una máquina como una escalera mecánica se construirán utilizando las trazas que publicamos en nuestras publicaciones anteriores.^{[10, 11]} El mapa espacial de Poincaré se construirá utilizando el método del plan de pseudo-fase (también llamado método del espacio de incrustación). Para un sistema de un grado de libertad con medición x (t), se traza la señal frente a sí misma pero retrasada o adelantada por una constante de tiempo fija [x (t), x (t + T)]. La idea es que la señal x (t + T) está relacionada con x` (t) y debe tener una propiedad similar a las del plan de fase clásico [x (t), x` (t)]. Si el movimiento es caótico, las trayectorias no se cierran.

Cuando las variables de estado son mayores que tres (posición, velocidad, tiempo o fase de fuerza), las trayectorias de pseudo-espacio-fase de dimensiones superiores se pueden construir utilizando múltiples retrasos. Por ejemplo, se puede construir un espacio tridimensional usando un vector con componentes [x (t), x (t + T), x (t + 2T)].^{[ 1 ]}

Resultados y discusión

Los rastros de datos que obtuvimos en nuestros estudios anteriores^{[10, 11]} se han utilizado en este trabajo. En un estudio,^{[ 11 ]} evaluamos la dimensión fractal, Df, de cada traza de las ocho galgas extensométricas. La evaluación demostró que estas trazas tienen características fractales y pueden correlacionarse con otras variables medidas por la máquina, como los valores de tensión máxima y media generados durante el funcionamiento de la máquina.

En este estudio, el concepto del mapa espacial de Poincaré y el mapa del plan de fase se han utilizado para probar y confirmar la capacidad de conjunto fractal de datos que se pueden obtener de un dispositivo como el paso inteligente.

La Figura 2 muestra el mapa del plan de fase para los datos de las nueve trazas de los medidores en el paso inteligente. Las trazas muestran bucles repetitivos densos con progresión a bucles abiertos a medida que avanza el período de tiempo en las mediciones. Los datos sugieren un aspecto fractal con una relación lineal entre los parámetros del gráfico. Esto se ha confirmado nuevamente en la Figura 3 cuando trazamos un mapa en planta de forma de Poincaré para el medidor de tensión No. 1. Los datos tienen un diseño diagonal en el espacio, lo que confirma la naturaleza fractal de las mediciones. Es importante notar que el caos en los sistemas deterministas es sensible y depende de las condiciones iniciales del sistema. Esto implica que la trayectoria de los sistemas comienza cerca uno del otro en el espacio de fase, luego los sistemas se alejan exponencialmente unos de otros durante pequeños momentos, en promedio. Esto podría ser cierto en lo que vemos en la Figura 3; sin embargo, se investigará de cerca el tractor para la galga extensométrica No. 1.

Las trazas de datos para la galga extensométrica n. ° 1 se han representado en etapas en la Figura 4 para mostrar la forma en que se forman y progresan los bucles a lo largo del tiempo de ejecución del experimento. La formación de pequeños bucles se puede ver en la Figura 4a, con el atractor moviéndose del punto A al punto B.Los bucles densos comienzan a formarse después de pasar el punto B, como se muestra en la Figura 4b, lo que lleva a bucles más grandes y más largos al punto C en la Figura 4c, luego al punto D en la Figura 4d. Luego, el camino del atractor se cerrará para terminar con una forma como la que se muestra en la Figura 3.

Aunque las gráficas de las Figuras 2, 3 y 4 se muestran como gráficas 2D, en las Figuras 5 y 6, graficamos los datos de la galga extensométrica No. 1 y una representación esquemática en 3D de la trayectoria de su atractor. La Figura 6 muestra una intersección propuesta entre la forma de cono involucrado del atractor y la sección de Poincaré.

Conclusiones

La naturaleza incrustada de ser fractal se ha reconfirmado en este estudio para el conjunto de datos, que se habían obtenido al ejecutar el escalón inteligente en una escalera mecánica descargada. Este estudio es una prueba más para respaldar nuestros hallazgos anteriores.^{[ 11 ]} Se ha establecido y confirmado la relación fractal lineal en los atractores de datos en el mapa del plan de fase y en el mapa espacial de Poincaré. Los datos son caóticos pero de forma determinista, porque tienen ciclos cerrados (periódicos). Las señales de las galgas extensométricas del paso inteligente tienen trayectorias con atractores que han mostrado un efecto de amortiguación, especialmente en la región media durante el período de ejecución. La forma de estos atractores sugiere que pueden ser un tipo de ciclo de límite estable, es decir, una oscilación cerrada constante que podría atraer todos los movimientos adyacentes. Las oscilaciones en las Figuras 2, 3, 4 y 5, que están representadas esquemáticamente en la Figura 6, muestran que las trayectorias de pequeña amplitud se mueven hacia afuera mientras aseguran al mismo tiempo que las trayectorias de gran amplitud se mueven hacia adentro. Los atractores no entran en el origen (0,0), porque son inestables.^{[ 1 ]}

Existe una similitud interesante entre nuestra observación en este estudio y la informada por Abarbael y Lall^{[ 15 ]} cuando monitorearon y midieron las variaciones en el volumen de agua en el Gran Lago Salado (Figura 7). Son sistemas totalmente diferentes con diferentes variables, pero se comportan de manera similar.

Podríamos pensar que la ecuación que podría representar las oscilaciones en las Figuras 2, 3, 4 y 5 es:

x “+ kx` + x`3 + kx = B Cos (t)

x "= aceleración

x` = velocidad

c y B = constantes

x = desplazamiento

La ecuación anterior podría ser la piedra angular en el desarrollo de un modelo matemático para describir el comportamiento no lineal de un sistema mecánico como una escalera mecánica.

Ha habido muchos trabajos experimentales,^{[12, 13, 14]} que han demostrado que, para una entrada forzada periódica dada a un sistema físico, podrían existir grandes regiones de movimiento periódico y subarmónico y ser predecibles utilizando métodos clásicos de análisis no lineal. Sin embargo, estos ejemplos también muestran que el caos no es un acontecimiento singular; es decir, puede existir para rangos amplios. Más importante aún, hay regiones donde pueden existir tanto movimientos periódicos como caóticos, y el movimiento preciso que resultará puede ser impredecible. La distribución de los datos en las Figuras 2, 3, 4 y 5 no dan una indicación de un comportamiento caótico impredecible en las mediciones. El trabajo adicional en esta área podría revelar el conjunto de criterios y condiciones para que un sistema mecánico como una escalera mecánica se vuelva caótico. La definición de estos límites tendrá enormes implicaciones en los programas y regímenes de mantenimiento de las escaleras mecánicas. También será útil compilar y utilizar un modelo matemático para el comportamiento de la escalera mecánica como analogía o paradigma.

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Referencias

[1] “Vibración caótica”, Francis C Moon, 2004.

[2] “Comentarios introductorios”, en Dimensiones y entropías en sistemas caóticos, G. Mayer-Kress, Springer-Verlag, Berlín.

[3] “Desmultiplicación de frecuencia”, Nature 120 (3019), 363-364.

[4] “Dinámica no lineal y caos”, JMT Thompson y HB Stewart, 1987.

[5] “Fractal and Chaos Simplied for The Life Scinces”, Larry S. Liebovitch, 1998.

[6] “Complexity: A Guided Tour”, Melanie Mitchell, 2009.

[7] “Dinámica simbólica de mapas unidimensionales: entropías, precursor finito y ruido”, Crutchfield, JP y Packard, NH, Int. J. Theor. Phs., 21 (6/7), 433-465.

[8] “Teoría y aplicaciones de los autómatas celulares”, Wolfram, S., World Scientific Publ., Singapur.

[9] “Tube Lines se vuelve inteligente para monitorear el desgaste de las escaleras mecánicas”, A. Albadri, Computer Weekly.com, 07/01/2008.

[10] “Midiendo el latido del corazón de las escaleras mecánicas”, A. Albadri, Ascensores, que se publicará.

[11] “Comportamiento fractal de escaleras mecánicas”, A. Albadri, Ascensores, pendiente de publicación.

[12] “Evidencia de órbitas homoclínicas como precursor del caos en un péndulo magnético”, Moon, FC, Cusumano, J. y Holmes, PJ, Physica D, 1987.

[13] “Modelos experimentales para la vibración de atractores extraños en sistemas elásticos”, Moon, FC y Holmes, PJ, en Nuevos enfoques de problemas no lineales en dinámica, PJ Holmes, págs. 487-495, 1980b.

[14] “Duplicación de períodos y comportamiento caótico en un oscilador Toda impulsado”, Klinker, T., Meyer-Ilse, X. y Lauterborn, W., Phys. Letón. A 101 (8), 371-375, 1984.

[15] “Dinámica no lineal del Gran Lago Salado”, Abarbanel, HD y Hall, U., 1996, identificación y predicación del sistema, Climate Dynamics, 12, 287-97.