Construction de la carte de l'espace de Poincaré et de la carte du plan de phase pour les escaliers mécaniques, partie 1

Votre auteur note la confirmation de la nature de l'ensemble fractal des données de pas intelligent.

Dans cette étude, la carte de l'espace de Poincaré et la carte du plan de phase (section Poincaré) sont construites à partir de traces de données mesurées obtenues lors de l'exécution de l'étape intelligente dans un escalator non chargé (sans charge de passagers). Les cartes construites ont confirmé notre conclusion précédente selon laquelle les données de l'étape intelligente ont une nature d'ensemble fractal. Les traces/attracteurs peuvent être décrits comme périodiques dans des formes de boucle fermées et semi-elliptiques, qui ont des tailles différentes, car l'étape intelligente effectue un seul passage/tour dans l'escalier roulant. Les tailles des boucles deviennent plus grandes avec la progression dans la course le long de la coordination des variables, puis elles redeviennent de petites tailles en revenant à leur position d'origine. Les cartes montrent également l'effet d'amortissement, en milieu et en fin de course, sous la forme de petites boucles. Les données des cartes donnent une indication d'une relation linéaire dans le comportement des paramètres mesurés. Les constructions de la carte de l'espace de Poincaré et de la carte du plan de phase confirment que les données de l'étape intelligente ont un comportement d'ensemble fractal. Ils suggèrent également à quel point le comportement des variables dans l'escalier mécanique est déterministe ou chaotique. Cela pourrait être un concept très utile pour classer et catégoriser les escaliers mécaniques en fonction de leurs calendriers de maintenance.

Introduction

Les conceptions de systèmes mécaniques sont basées sur l'utilisation de relations linéaires entre divers paramètres d'ingénierie, telles que la contrainte par rapport à la déformation, la force de friction par rapport à la température, etc. Les ingénieurs utilisent ces relations pour construire des machines et des structures, mais comme dans toute machine compliquée, telle qu'un escalator, ces relations sont interconnectées à l'intérieur ; par conséquent, la vérité est que ces relations linéaires fonctionnent à un degré limité. Dans un système mécanique comme un escalier mécanique, les composants et les sous-ensembles interagissent les uns avec les autres, générant des forces de friction, des effets/forces de vibration et de la chaleur, qui augmentent la température, provoquant un comportement non linéaire ou proprement chaotique du système. Ce comportement pourrait être couvert par la théorie du chaos, c'est ce que nous faisons dans ce travail.

Les mouvements chaotiques des systèmes mécaniques ou électriques sont classés comme :

1. Équilibre
2. Mouvement périodique ou cycle limite
3. Quasipériodique

Le comportement et le modèle d'un système non linéaire (chaotique) peuvent être étudiés en traçant les comportements des paramètres et des variables du système sur des cartes à deux ou trois dimensions, comme la carte de plan de phase à deux dimensions et la carte de Poincaré à trois dimensions. Les comportements des paramètres et des variables sont représentés en lignes de trajectoires.

Les lignes de représentation dans la carte du plan de phase de l'une des trois classes ci-dessus sont appelées attracteurs. Il existe un nouveau quatrième attracteur, appelé attracteur étrange. C'est chaotique (imprévisible), surtout lorsqu'il y a une petite incertitude dans les conditions initiales des paramètres tracés. L'attracteur étrange peut aussi être appelé l'ensemble fractal.

L'état d'équilibre est représenté par un point dans le plan de phase, tandis que le mouvement périodique ou cycle limité est représenté par une courbe/boucle fermée, et le mouvement quasi-périodique est représenté par une surface dans un espace de phase tridimensionnel. L'ensemble fractal d'un attracteur étrange ressemble à une collection d'ensembles infinis de feuilles ou de surfaces parallèles, dont certaines sont séparées par des distances qui approchent l'échelle infinitésimale.

L'ensemble fractal, ou attracteur étrange, peut être décrit dans un modèle mathématique (équation), qui peut être utilisé comme langage pour décrire les caractéristiques et le comportement du système. Le modèle doit être validé par une expérience pour enregistrer son comportement et quantifier certains de ses paramètres. Les modèles mathématiques peuvent prendre l'une des trois formes suivantes :

1. Équation différentielle (ou flux)
2. Équation de différence (appelée cartes)
3. Équations dynamiques de symboles

Le terme « écoulement » fait référence à un faisceau de trajectoires dans l'espace des phases provenant des conditions initiales. L'histoire en temps continu d'une particule sur une ligne de la carte ou de l'espace est l'exemple le plus familier d'un flux pour ceux dans les vibrations d'ingénierie.^{[1, 5, 6]}

Les sections qui coupent les lignes d'attracteurs dans la carte ou l'espace sont appelées sections de Poincaré ou cartes de plan de phase. Un groupe de ces sections dans un cadre de coordination 3D peut également être appelé cartes de Poincaré. La carte de Poincaré est utilisée pour distinguer différents états de mouvement qualitatifs, tels que périodique, quasi-périodique ou chaotique.

Une carte de Poincaré est construite en mesurant les variables dynamiques. Par exemple, dans un problème de variables à n états, on peut obtenir une section de Poincaré en mesurant les n-1 variables lorsque la nième variable atteint une valeur particulière, ou lorsque les trajectoires de l'espace des phases traversent un plan arbitraire dans la phase plane. Si l'on connaît l'historique temporel entre deux pénétrations de ce plan, on peut relier la position en tn+1 à celle en tn à travers des fonctions données.^{[6, 7, 8]}

Mesures de pas intelligentes

Une marche intelligente a été conçue pour fonctionner dans un escalator récemment entièrement rénové. Huit jauges de contrainte ont été montées à différents endroits de l'étape, comme le montre la figure 1. Les jauges étaient situées à des emplacements critiques de l'étape après avoir effectué une analyse par éléments finis, ou FEA, une simulation sur un modèle 3D pour l'étape. La marche a été chargée en effectuant des tests axiaux, de torsion et de différentiel de chaîne, conformément aux recommandations de la norme BS EN 115.

Construire la carte

Les jauges de contrainte de l'étape intelligente ne mesurent qu'une seule variable (déformations ou contraintes) en fonction du temps.^{[9, 10]} La carte de l'espace de Poincaré et la carte du plan de phase pour le comportement non linéaire d'une machine comme un escalator seront construites en utilisant les traces que nous avons publiées dans nos publications précédentes.^{[10, 11]} La carte de l'espace de Poincaré sera construite en utilisant la méthode du plan de pseudo-phase (également appelée méthode de l'espace de plongement). Pour un système à un degré de liberté avec mesure x (t), on trace le signal par rapport à lui-même mais retardé ou avancé d'une constante de temps fixe [x(t), x(t+T)]. L'idée est que le signal x(t+T) est lié à x`(t) et devrait avoir une propriété similaire à celles du plan de phase classique [x(t), x`(t)]. Si le mouvement est chaotique, les trajectoires ne se ferment pas.

Lorsque les variables d'état sont supérieures à trois (position, vitesse, temps ou phase de force), les trajectoires pseudo-phase-espace de dimension supérieure peuvent être construites en utilisant des retards multiples. Par exemple, un espace tridimensionnel peut être construit en utilisant un vecteur avec des composantes [x(t), x(t+T), x(t+2T)].

Résultats et discussion

Les traces de données que nous avons obtenues dans nos études précédentes^{[10, 11]} ont été utilisées dans ce travail. Dans une étude, nous avons évalué la dimension fractale, Df, de chaque trace des huit jauges de contrainte. L'évaluation a prouvé que ces traces ont des caractéristiques fractales et qu'elles peuvent être corrélées à d'autres variables mesurées par la machine, telles que les valeurs de contrainte maximale et moyenne générées pendant le fonctionnement de la machine.

Dans cette étude, le concept de la carte de l'espace de Poincaré et la carte du plan de phase ont été utilisés pour prouver et confirmer la capacité d'ensemble fractal des données qui peuvent être obtenues à partir d'un dispositif comme le smart step.

La figure 2 montre la carte du plan de phase pour les données des neuf traces des jauges dans l'étape intelligente. Les traces montrent des boucles répétitives denses avec une progression vers des boucles grandes ouvertes au fur et à mesure que la période de temps progresse dans les mesures. Les données suggèrent un aspect fractal avec une relation linéaire entre les paramètres de la parcelle. Cela a été confirmé à nouveau dans la figure 3 lorsque nous avons tracé une carte de plan de forme de Poincaré pour la jauge de contrainte n ° 1. Les données ont une disposition diagonale dans l'espace, confirmant la nature fractale des mesures. Il est important de noter que le chaos dans les systèmes déterministes est sensible et dépendant des conditions initiales du système. Cela implique que la trajectoire des systèmes commence à proximité les uns des autres dans l'espace des phases, puis les systèmes s'éloignent exponentiellement les uns des autres pendant de petits temps, en moyenne. Cela pourrait être vrai dans ce que nous voyons dans la figure 3; cependant, le tracteur de la jauge de contrainte n° 1 sera étudié de près.

Les traces de données pour la jauge de contrainte n ° 1 ont été tracées par étapes sur la figure 4 pour montrer la façon dont les boucles sont formées et ont progressé tout au long de la durée de l'expérience. La formation de petites boucles peut être vue sur la figure 4a, avec l'attracteur se déplaçant du point A au point B. Des boucles denses commencent à se former après le passage du point B, comme le montre la figure 4b, conduisant à des boucles plus grandes et plus longues jusqu'au point C de la figure 4c, puis au point D de la figure 4d. Ensuite, le chemin de l'attracteur sera fermé pour se retrouver avec une forme comme celle illustrée à la figure 3.

Bien que les tracés des figures 2, 3 et 4 soient représentés sous forme de tracés 2D, sur les figures 5 et 6, nous avons tracé les données de la jauge de contrainte n° 1 et une représentation schématique 3D de la trajectoire de son attracteur. La figure 6 montre une intersection proposée entre la forme conique impliquée de l'attracteur et la section de Poincaré.

Conclusions

La nature intégrée d'être fractal a été reconfirmée dans cette étude pour l'ensemble de données, qui avait été obtenu en exécutant l'étape intelligente dans un escalator déchargé. Cette étude est une preuve supplémentaire pour étayer nos conclusions précédentes. La relation fractale linéaire dans les attracteurs de données dans la carte du plan de phase et dans la carte de l'espace de Poincaré a été établie et confirmée. Les données sont chaotiques mais de manière déterministe, car elles ont des boucles fermées (périodiques). Les signaux des jauges de contrainte de l'étape intelligente ont des chemins avec des attracteurs qui ont montré un effet d'amortissement, en particulier dans la région médiane pour la période de fonctionnement. La forme de ces attracteurs suggère qu'ils peuvent être un type de cycle à limite stable, à savoir une oscillation fermée stable qui pourrait attirer tous les mouvements adjacents. Les oscillations des figures 2, 3, 4 et 5, qui sont schématisées sur la figure 6, montrent que les trajectoires de faible amplitude se déplacent vers l'extérieur tout en assurant en même temps que les trajectoires de grande amplitude se déplacent vers l'intérieur. Les attracteurs n'entrent pas dans l'origine (0,0), car ils sont instables.

Il existe une similitude intéressante entre notre observation dans cette étude et celle rapportée par Abarbael et Lall lorsqu'ils surveillaient et mesuraient les variations du volume d'eau dans le Grand Lac Salé (figure 7). Ce sont des systèmes totalement différents avec des variables différentes, mais ils se comportent de manière similaire.

On pourrait penser que l'équation qui pourrait représenter les oscillations des figures 2, 3, 4 et 5 est :

x" + kx` + x`3 + kx = B Cos(t)

x“ = accélération

x` = vitesse

c et B = constantes

x = déplacement

L'équation ci-dessus pourrait être la clé de voûte du développement d'un modèle mathématique pour décrire le comportement non linéaire d'un système mécanique comme un escalator.

Il y a eu de nombreux travaux expérimentaux,^{[12, 13, 14]} qui ont prouvé que, pour un forçage périodique donné appliqué à un système physique, de grandes régions de mouvement périodique et sous-harmonique pouvaient exister et être prévisibles en utilisant des méthodes classiques d'analyse non linéaire. Cependant, ces exemples montrent également que le chaos n'est pas un événement singulier ; c'est-à-dire qu'il peut exister pour de larges plages. Plus important encore, il existe des régions où des mouvements périodiques et chaotiques peuvent exister, et le mouvement précis qui en résultera peut être imprévisible. La distribution des données sur les figures 2, 3, 4 et 5 ne donne pas une indication d'un comportement chaotique imprévisible dans les mesures. D'autres travaux dans ce domaine pourraient dévoiler l'ensemble des critères et conditions pour qu'un système mécanique comme un escalier mécanique devienne chaotique. La définition de ces limites aura d'énormes implications sur les calendriers de maintenance des escaliers mécaniques et les régimes de maintenance. La compilation et l'utilisation d'un modèle mathématique pour le comportement de l'escalier mécanique comme analogie ou paradigme seront également utiles.

---

Références

[1] « Vibrations chaotiques », Francis C Moon, 2004.

[2] « Remarques introductives », dans Dimensions et entropies dans les systèmes chaotiques, G. Mayer-Kress, Springer-Verlag, Berlin.

[3] « Démultiplication de fréquence », Nature 120 (3019), 363-364.

[4] « Dynamique non linéaire et chaos », JMT Thompson et HB Stewart, 1987.

[5] « Fractale et chaos simplifiés pour les sciences de la vie », Larry S. Liebovitch, 1998.

[6] « Complexité : une visite guidée », Melanie Mitchell, 2009.

[7] « Dynamique symbolique des cartes unidimensionnelles : entropies, précurseur fini et bruit », Crutchfield, JP, et Packard, NH, Int. J. Théor. Phs., 21(6/7), 433-465.

[8] « Théorie et applications des automates cellulaires », Wolfram, S., World Scientific Publ., Singapour.

[9] « Les lignes de tubes deviennent intelligentes pour surveiller l'usure des escaliers mécaniques », A. Albadri, Computer Weekly.com, 07/01/2008.

[10] « Mesurer le rythme cardiaque de l'escalator », A. Albadri, Ascenseurs, à paraître.

[11] « Escalator Fractal Behavior », A. Albadri, Ascenseurs, à paraître.

[12] « Preuve d'orbites homocliniques en tant que précurseur du chaos dans un pendule magnétique », Moon, FC, Cusumano, J., et Holmes, PJ, Physica D, 1987.

[13] « Modèles expérimentaux pour les vibrations étranges des attracteurs dans les systèmes élastiques », Moon, FC et Holmes, PJ, dans Nouvelles approches des problèmes non linéaires en dynamique, PJ Holmes, pp. 487-495, 1980b.

[14] « Période de doublage et comportement chaotique dans un oscillateur Toda piloté », Klinker, T., Meyer-Ilse, X. et Lauterborn, W., Phys. Lett. A 101(8), 371-375, 1984.

[15] « Dynamique non linéaire du Grand Lac Salé », Abarbanel, HD, et Hall, U., 1996, identification et prédiction du système, Climate Dynamics, 12, 287-97.