بناء خريطة فضاء Poincare وخريطة خطة المرحلة للسلالم المتحركة ، الجزء 1

يلاحظ مؤلفك تأكيدًا لطبيعة المجموعة الكسورية لبيانات الخطوة الذكية.

في هذه الدراسة ، تم إنشاء خريطة فضاء Poincare وخريطة خطة المرحلة (قسم Poincare) من آثار البيانات المقاسة التي تم الحصول عليها من تشغيل الخطوة الذكية في سلم متحرك غير محمل (خالي من تحميل الركاب). أكدت الخرائط التي تم إنشاؤها اكتشافنا السابق بأن البيانات من الخطوة الذكية لها طبيعة مجموعة كسورية. يمكن وصف الآثار / الجاذبات على أنها دورية بأشكال حلقة مغلقة وشبه إهليلجية ، والتي لها أحجام مختلفة ، حيث تكمل الخطوة الذكية جولة / جولة واحدة في السلم المتحرك. تصبح أحجام الحلقات أكبر مع التقدم في المدى على طول تنسيق المتغيرات ، ثم تعود إلى الأحجام الصغيرة لأنها تعود إلى موضعها الأصلي. تُظهر الخرائط أيضًا تأثير التخميد ، في منتصف ونهاية المسار ، في أشكال الحلقات الصغيرة. تعطي البيانات الموجودة في الخرائط مؤشرا لعلاقة خطية في سلوك المعلمات المقاسة. تؤكد إنشاءات خريطة فضاء Poincare وخريطة خطة المرحلة أن البيانات من الخطوة الذكية لها سلوك مجموعة كسورية. يقترحون أيضًا مدى الحتمية أو الفوضى في سلوك المتغيرات في السلم المتحرك. قد يكون هذا مفهومًا مفيدًا جدًا في تصنيف السلالم المتحركة وتصنيفها وفقًا لجداول الصيانة الخاصة بهم.

المقدمة

تعتمد تصميمات الأنظمة الميكانيكية على استخدام العلاقات الخطية بين المعلمات الهندسية المختلفة ،^[1] مثل الإجهاد مقابل الإجهاد ، وقوة الاحتكاك مقابل درجة الحرارة ، وما إلى ذلك. يستخدم المهندسون هذه العلاقات لبناء الآلات والهياكل ، ولكن كما هو الحال في أي آلة معقدة ، مثل السلم المتحرك ، فإن هذه العلاقات مرتبطة ببعضها البعض في الداخل ؛ لذلك ، فإن حقيقة الأمر هي أن هذه العلاقات الخطية تعمل بدرجة محدودة. في نظام ميكانيكي مثل السلم المتحرك ، تتفاعل المكونات والتجمعات الفرعية مع بعضها البعض ، وتولد قوى الاحتكاك ، وتأثيرات الاهتزاز / القوى والحرارة ، مما يؤدي إلى زيادة درجة الحرارة ، مما يتسبب في تصرف النظام بطريقة غير خطية أو بطريقة فوضوية بشكل صحيح. يمكن تغطية هذا السلوك في نظرية الفوضى ،^[2] وهو ما نقوم به في هذا العمل.

تصنف الحركات الفوضوية للأنظمة الميكانيكية أو الكهربائية على النحو التالي:

1. توازن
2. الحركة الدورية أو دورة الحد
3. شبه دوري^[1]

يمكن دراسة سلوك ونمط النظام غير الخطي (الفوضوي) من خلال رسم سلوكيات المعلمات والمتغيرات في النظام على خرائط ثنائية أو ثلاثية الأبعاد ، مثل خريطة خطة المرحلة ثنائية الأبعاد وخريطة Poincare ثلاثية الأبعاد. يتم تمثيل سلوك المعلمات والمتغيرات في خطوط المسارات.^[3]

تسمى خطوط التمثيل في خريطة خطة المرحلة لأي من الفئات الثلاث المذكورة أعلاه بالجاذبين. هناك جاذب رابع جديد يسمى الجاذب الغريب. إنها فوضوية (لا يمكن التنبؤ بها) ، خاصةً عندما يكون هناك قدر ضئيل من عدم اليقين في الظروف الأولية للمعلمات المرسومة. يمكن أيضًا تسمية الجاذب الغريب بالمجموعة الكسورية.^[4]

يتم تمثيل حالة التوازن كنقطة في خطة المرحلة ، بينما يتم تمثيل الحركة الدورية أو الدورة المحدودة بمنحنى / حلقة مغلقة ، ويتم تمثيل الحركة شبه الدورية كسطح في فضاء طور ثلاثي الأبعاد. تبدو المجموعة الكسورية للجاذب الغريب كمجموعة من مجموعات لا نهائية من الألواح أو الأسطح المتوازية ، بعضها مفصول بمسافات تقترب من المقياس المتناهي الصغر.^[4]

يمكن وصف المجموعة الكسورية ، أو الجاذب الغريب ، في نموذج رياضي (معادلة) ، والتي يمكن استخدامها كلغة لوصف ميزات وسلوك النظام. يتم اعتماد النموذج بتجربة لتسجيل سلوكه وتحديد بعض معاملاته. يمكن أن تتخذ النماذج الرياضية أحد الأشكال الثلاثة:

1. المعادلة التفاضلية (أو التدفق)
2. معادلة الفرق (تسمى الخرائط)
3. رمز المعادلات الديناميكية

يشير مصطلح "التدفق" إلى حزمة من المسارات في فضاء الطور ناشئة عن الظروف الأولية. يعد التاريخ الزمني المستمر لجسيم ما على خط في الخريطة أو الفضاء هو المثال الأكثر شيوعًا للتدفق إلى أولئك الموجودين في الاهتزازات الهندسية.^{[1 و 5 و 6]}

الأقسام التي تتقاطع مع خطوط الجاذبات في الخريطة أو الفضاء تسمى أقسام Poincare أو خرائط خطة المرحلة. يمكن أيضًا تسمية مجموعة من هذه الأقسام في إعداد تنسيق ثلاثي الأبعاد باسم خرائط Poincare. تُستخدم خريطة Poincare للتمييز بين مختلف حالات الحركة النوعية ، مثل الحالة الدورية أو شبه الدورية أو الفوضوية.^[1]

يتم إنشاء خريطة Poincare عن طريق قياس المتغيرات الديناميكية. على سبيل المثال ، في مشكلة متغير الحالة n ، يمكن للمرء الحصول على قسم Poincare عن طريق قياس المتغيرات n-1 عندما يصل المتغير n إلى قيمة معينة ، أو عندما تعبر مسارات فضاء الطور بعض المستويات التعسفية في مرحلة المستوى. إذا كان لدى المرء معرفة بتاريخ الوقت بين اختراقين لهذا المستوى ، فيمكن للمرء أن يربط الموضع عند tn + 1 بالموضع عند tn من خلال وظائف معينة.^{[6 و 7 و 8]}

قياسات الخطوة الذكية

تم بناء خطوة ذكية للتشغيل في سلم متحرك تم تجديده بالكامل.^[9] تم تركيب ثمانية مقاييس إجهاد في مواقع مختلفة في الخطوة ، كما هو موضح في الشكل 1. تم وضع المقاييس في مواقع حرجة في الخطوة بعد إجراء تحليل العناصر المحدودة ، أو FEA ، وهي محاكاة على نموذج ثلاثي الأبعاد للخطوة. تم تحميل الخطوة عن طريق إجراء اختبارات التفاضل المحوري والالتواء والسلسلة ، وفقًا للتوصيات الواردة في معيار BS EN 3.

بناء الخريطة

مقاييس الإجهاد في الخطوة الذكية تقيس متغيرًا واحدًا فقط (إجهادات أو إجهادات) مع الوقت.^{[9، 10]} سيتم إنشاء خريطة فضاء Poincare وخريطة خطة المرحلة للسلوك غير الخطي لآلة مثل السلم المتحرك باستخدام الآثار التي نشرناها في منشوراتنا السابقة.^{[10، 11]} سيتم إنشاء خريطة فضاء Poincare باستخدام طريقة خطة المرحلة الزائفة (وتسمى أيضًا طريقة مساحة التضمين). للحصول على درجة واحدة من نظام الحرية مع القياس س (ر)، يرسم المرء الإشارة مقابل نفسها ولكن يتأخر أو يتقدم بواسطة ثابت زمني ثابت [x (t) ، x (t + T)]. الفكرة هي أن الإشارة x (t + T) مرتبطة بـ x` (t) ويجب أن يكون لها خاصية مشابهة لتلك الموجودة في خطة المرحلة الكلاسيكية [x (t)، x` (t)]. إذا كانت الحركة فوضوية ، فإن المسارات لا تغلق.

عندما تكون متغيرات الحالة أكبر من ثلاثة (الموضع ، السرعة ، الوقت أو مرحلة القوة) ، يمكن بناء مسارات الفضاء الزائفة ذات الأبعاد الأعلى باستخدام تأخيرات متعددة. على سبيل المثال ، يمكن إنشاء مساحة ثلاثية الأبعاد باستخدام متجه مع المكونات [x (t) ، x (t + T) ، x (t + 2T)].^[1]

النتائج والمناقشة

تتبع البيانات التي حصلنا عليها في دراساتنا السابقة^{[10، 11]} تم استخدامها في هذا العمل. في دراسة واحدة ،^[11] قمنا بتقييم البعد الكسري ، Df، لكل أثر من مقاييس الانفعال الثمانية. أثبت التقييم أن هذه الآثار لها خصائص كسورية ويمكن ربطها بمتغيرات أخرى يتم قياسها آليًا ، مثل قيم الضغط القصوى والمتوسط ​​الناتجة أثناء تشغيل الجهاز.

في هذه الدراسة ، تم استخدام مفهوم خريطة فضاء Poincare وخريطة خطة المرحلة لإثبات وتأكيد قدرة المجموعة الكسورية للبيانات التي يمكن الحصول عليها من جهاز مثل الخطوة الذكية.

يوضح الشكل 2 خريطة خطة المرحلة لبيانات الآثار التسعة من أجهزة القياس في الخطوة الذكية. تظهر الآثار حلقات متكررة كثيفة مع تقدم إلى حلقات مفتوحة على مصراعيها مع تقدم الفترة الزمنية في القياسات. تشير البيانات إلى مظهر كسوري بعلاقة خطية بين معلمات المؤامرة. تم تأكيد ذلك مرة أخرى في الشكل 3 عندما قمنا برسم خريطة مخطط شكل Poincare لمقياس الضغط رقم 1. تحتوي البيانات على تخطيط قطري في الفراغ ، مما يؤكد الطبيعة الكسورية للقياسات. من المهم ملاحظة أن الفوضى في الأنظمة الحتمية حساسة وتعتمد على الظروف الأولية للنظام. هذا يعني أن مسار الأنظمة يبدأ بالقرب من بعضها البعض في فضاء الطور ، ثم تتحرك الأنظمة بشكل كبير بعيدًا عن بعضها البعض لأوقات صغيرة ، في المتوسط. قد يكون هذا صحيحًا فيما نراه في الشكل 3 ؛ ومع ذلك ، سيتم فحص الجرار لمقياس الضغط رقم 1 عن كثب.

تم رسم تتبعات البيانات الخاصة بمقياس الإجهاد رقم 1 على مراحل في الشكل 4 لإظهار الطريقة التي تتشكل بها الحلقات وتقدمها طوال فترة تشغيل التجربة. يمكن رؤية تشكيل الحلقات الصغيرة في الشكل 4 أ ، حيث يتحرك الجاذب من النقطة أ إلى النقطة ب. تبدأ الحلقات الكثيفة في التكون بعد تجاوز النقطة ب ، كما هو موضح في الشكل 4 ب ، مما يؤدي إلى حلقات أكبر وأطول إلى النقطة ج في الشكل 4 ج ، ثم للإشارة إلى D في الشكل 4 د. بعد ذلك ، سيتم إغلاق مسار الجاذب لينتهي به المطاف بشكل مشابه للشكل الموضح في الشكل 3.

على الرغم من أن المؤامرات في الأشكال 2 و 3 و 4 تظهر كمخططات ثنائية الأبعاد ، في الشكلين 2 و 5 ، قمنا برسم البيانات من مقياس الإجهاد رقم 6 وتمثيل تخطيطي ثلاثي الأبعاد لمسار جاذبه. يوضح الشكل 1 تقاطعًا مقترحًا بين الشكل المخروطي المتضمن للجاذب وقسم بوانكاريه.

استنتاجات

تم إعادة تأكيد الطبيعة المدمجة لكونها كسورية في هذه الدراسة لمجموعة البيانات ، والتي تم الحصول عليها من تشغيل الخطوة الذكية في سلم متحرك غير محمل. هذه الدراسة هي دليل إضافي لدعم نتائجنا السابقة.^[11] تم تأسيس وتأكيد العلاقة الكسورية الخطية في عوامل جذب البيانات في خريطة خطة المرحلة وفي خريطة فضاء Poincare. البيانات فوضوية ولكن بطريقة حتمية ، لأنها تحتوي على حلقات متقاربة (دورية). الإشارات من مقاييس الإجهاد في الخطوة الذكية لها مسارات ذات جاذبات أظهرت تأثيرًا مثبطًا ، خاصة في المنطقة الوسطى لفترة التشغيل. يشير شكل هذه الجاذبات إلى أنها يمكن أن تكون نوع دورة حد ثابت ، أي تذبذب مغلق ثابت يمكن أن يجذب جميع الحركات المجاورة. تظهر التذبذبات في الأشكال 2 و 3 و 4 و 5 ، التي تم تمثيلها بشكل تخطيطي في الشكل 6 ، أن مسارات السعة الصغيرة تتحرك إلى الخارج مع ضمان في نفس الوقت أن تتحرك المسارات ذات السعة الكبيرة إلى الداخل. الجاذبات لا تدخل الأصل (0,0،XNUMX) ، لأنها غير مستقرة.^[1]

هناك تشابه مثير للاهتمام بين ملاحظتنا في هذه الدراسة وتلك التي ذكرها Abarbael و Lall^[15] عندما قاموا برصد وقياس التغيرات في حجم المياه في بحيرة الملح الكبرى (الشكل 7). إنها أنظمة مختلفة تمامًا بمتغيرات مختلفة ، لكنها تتصرف بطريقة مماثلة.

يمكننا أن نعتقد أن المعادلة التي يمكن أن تمثل التذبذبات في الأشكال 2 و 3 و 4 و 5 هي:

x`` + kx` + x`3 + kx = B Cos(t)

x`` = التسارع

x` = السرعة

ج و ب = ثوابت

س = الإزاحة

يمكن أن تكون المعادلة أعلاه حجر الزاوية في تطوير نموذج رياضي لوصف السلوك غير الخطي لنظام ميكانيكي مثل السلم المتحرك.

كان هناك العديد من الأعمال التجريبية ،^{[12 و 13 و 14]} التي أثبتت أنه ، لمدخل إجباري دوري معين لنظام مادي ، يمكن أن توجد مناطق كبيرة من الحركة الدورية وشبه التوافقية ويمكن التنبؤ بها باستخدام الطرق الكلاسيكية للتحليل غير الخطي. ومع ذلك ، تظهر هذه الأمثلة أيضًا أن الفوضى ليست حدثًا فريدًا ؛ وهذا يعني أنه يمكن أن يتواجد في نطاقات واسعة. الأهم من ذلك ، هناك مناطق يمكن أن توجد فيها حركات دورية وفوضوية ، والحركة الدقيقة التي ستنتج قد تكون غير متوقعة. لا يعطي توزيع البيانات الواردة في الأشكال 2 و 3 و 4 و 5 إشارة إلى سلوك فوضوي لا يمكن التنبؤ به في القياسات. قد يكشف المزيد من العمل في هذا المجال عن مجموعة المعايير والشروط لنظام ميكانيكي مثل السلم المتحرك ليصبح فوضوياً. سيكون لتحديد هذه الحدود آثار كبيرة على جداول صيانة السلم المتحرك وأنظمة الصيانة. سيكون من المفيد أيضًا تجميع واستخدام نموذج رياضي لسلوك السلم المتحرك كقياس أو نموذج.

مراجع حسابات

[1] "الاهتزاز الفوضوي" ، فرانسيس سي مون ، 2004.

[2] "ملاحظات تمهيدية" ، في الأبعاد والانتروبيات في الأنظمة الفوضوية ، ج. ماير-كريس ، سبرينغر- فيرلاج ، برلين.

[3] "إزالة تعدد الترددات" Nature 120 (3019) ، 363-364.

[4] "الديناميكيات اللاخطية والفوضى" ، جي إم تي طومسون وإتش بي ستيوارت ، 1987.

[5] "Fractal and Chaos Simplied for The Life Scinces"، Larry S. Liebovitch، 1998.

[6] "التعقيد: جولة إرشادية" ، ميلاني ميتشل ، 2009.

[7] "الديناميات الرمزية للخرائط أحادية البعد: الانتروبيا والسلائف المحدودة والضوضاء ،" Crutchfield، JP، and Packard، NH، Int. J. Theor. دكتوراه ، 21 (6/7) ، 433-465.

[8] "Theory and Applications of Cellular Automata"، Wolfram، S.، World Scientific Publ.، Singapore.

[9] "Tube Lines Gets Smart لمراقبة تآكل السلالم المتحركة" ، A. Albadri ، Computer Weekly.com ، 07/01/2008.

[10] "قياس ضربات القلب المصعد" ، أ. البدري ، المصاعد ، من المقرر نشرها.

[11] "سلوك فركتلات السلالم المتحركة" أ. البدري ، مصاعد ، من المقرر نشرها.

[12] "دليل على مدارات Homoclinic كمقدمة للفوضى في بندول مغناطيسي ،" Moon، FC، Cusumano، J.، and Holmes، PJ، Physica D، 1987.

[13] "النماذج التجريبية للاهتزاز الجاذب الغريب في الأنظمة المرنة ،" Moon ، FC ، و Holmes ، PJ ، في مقاربات جديدة للمشاكل غير الخطية في الديناميكيات ، PJ Holmes ، ص 487-495 ، 1980 ب.

[14] "تضاعف الفترة والسلوك الفوضوي في مذبذب تودا مدفوعة" ، Klinker ، T. ، Meyer-Ilse ، X. ، و Lauterborn ، W. ، Phys. بادئة رسالة. أ 101 (8) ، 371-375 ، 1984.

[15] "الديناميات غير الخطية لبحيرة الملح الكبرى ،" Abarbanel، HD، and Hall، U.، 1996 ، تحديد النظام والتنبؤ به ، ديناميات المناخ ، 12 ، 287-97.