Avaliação do tempo médio de deslocamento de passageiros em elevadores sob condições de tráfego de entrada usando fórmulas analíticas e o método de Monte Carlo.

por Dr.

A simulação de Monte Carlo é uma ferramenta poderosa usada para calcular o valor de uma variável que depende de diversas variáveis ​​de entrada aleatórias. Por esse motivo, ela pode ser usada com sucesso no cálculo do tempo de viagem de ida e volta de um elevador, onde algumas das entradas são aleatórias e seguem funções de distribuição de probabilidade predefinidas. As entradas aleatórias mais óbvias são o número de passageiros que embarcam na cabine em uma viagem de ida e volta, suas origens (no caso de múltiplas entradas) e seus destinos.

A simulação de Monte Carlo foi utilizada para avaliar o tempo de percurso de elevador em condições de tráfego ascendente de pico. Sua principal vantagem sobre os métodos analíticos baseados em fórmulas é a capacidade de lidar com todas as condições especiais de um edifício sem a necessidade de avaliar novas fórmulas específicas. É possível lidar com uma combinação de todas as seguintes condições especiais: ocupação desigual dos andares, alturas desiguais dos andares, múltiplas entradas e velocidade máxima não atingida em um único salto de andar. Além disso, isso pode ser feito sem perda de precisão, definindo-se o número de simulações para o valor apropriado.

Este artigo amplia o trabalho anterior sobre simulação de Monte Carlo em relação a dois aspectos: o modelo do processo de chegada de passageiros e o tempo médio de viagem dos passageiros.

O software foi desenvolvido usando MATLAB. Os resultados para o tempo médio de viagem são comparados a fórmulas analíticas (como a de So. et al. Os resultados que mostram o efeito do processo de chegada de Poisson no valor do tempo de viagem de ida e volta do elevador também são analisados.

A vantagem deste método em relação aos métodos analíticos é demonstrada mais uma vez ao mostrar como ele consegue lidar com a combinação de todas as condições especiais sem perda de precisão (cinco condições se o modelo de chegada de passageiros for adicionado como Poisson).

As questões de convergência, precisão e tempo de execução são discutidas em relação à praticidade do método.

Introdução

A simulação de Monte Carlo pode ser usada para avaliar o valor de saída de problemas que possuem diversas entradas aleatórias, em que as funções de densidade de probabilidade das variáveis ​​aleatórias de entrada são conhecidas. Ao gerar instâncias da variável de entrada aleatória na forma de cenários e executar um grande número desses cenários, o valor esperado da saída de interesse pode ser encontrado calculando-se a média de todos os cenários. Neste artigo, os cenários serão denominados "ensaios".

A simulação de Monte Carlo tem sido usada com eficácia para avaliar o tempo de viagem de ida e volta em condições de tráfego intenso. Na busca por uma política de estacionamento ideal, bem como gerar passageiros para fins de simulação. Oferece uma vantagem sobre os métodos convencionais baseados em equações quando existem condições especiais, como alturas de piso desiguais, populações de piso desiguais, velocidade máxima não atingida em uma única viagem e múltiplas entradas.

Para verificar os resultados do método, desenvolveu-se uma equação para calcular o tempo de trânsito (att) em condições de tráfego de pico ascendente, assumindo que a velocidade máxima é atingida em um único percurso de um andar, com uma única entrada e andares de altura igual. Os resultados da simulação de Monte Carlo para o att são então comparados com a equação desenvolvida. A equação é então estendida para abranger o caso de alturas de piso desiguais.

Os métodos analíticos para análise do tráfego de elevadores têm sido amplamente abordados.^[5-8] e incluem o modelo de chegada de passageiros de Poisson,^[9-12] o caso da velocidade máxima não ser atingida em uma única subida de um andar, o caso de múltiplas entradas e métodos baseados em simulação de fatias de tempo discretas.

Para garantir a consistência e a clareza na interpretação dos resultados, as seguintes definições serão utilizadas ao longo deste artigo:

• awt: o tempo médio de espera será definido como o período desde a chegada do passageiro ao saguão até o momento em que ele começa a embarcar no vagão. Portanto, com base nessa definição, o awt não inclui o tempo de embarque do passageiro.
• Observação: o tempo médio de viagem será definido como o período desde o momento em que o passageiro começa a embarcar no vagão até o momento em que desembarca no andar de destino. Portanto, com base nessa definição, o tempo médio de viagem inclui o tempo de embarque do passageiro, bem como o tempo de desembarque no destino.

A equação para o tempo médio de viagem (att) é derivada em Derivação da Equação para o Tempo Médio de Viagem. A verificação desta equação usando o método de simulação de Monte Carlo é examinada em Verificação. A equação é então ajustada para o caso de alturas de piso desiguais em Caso de Alturas de Piso Desiguais. O efeito do modelo de chegada de passageiros de Poisson é analisado em O Efeito do Modelo de Chegada de Passageiros de Poisson. Um exemplo prático de projeto de sistema de elevadores é apresentado em Exemplo Prático. Notas sobre a convergência são apresentadas em Notas sobre a Convergência do Simulador de Monte Carlo. As conclusões são apresentadas na seção final.

Dedução da equação para o ATT

Uma equação para o tempo médio de viagem foi desenvolvida em “Nova fórmula para estimar o tempo médio de viagem”. A equação apresentada nesta seção utiliza uma abordagem diferente e está de acordo com as definições apresentadas anteriormente.

A abordagem para derivar o att consiste em encontrar a expressão para cada componente dos tempos mínimo e máximo possíveis e usar a média de ambos.

O att inclui quatro componentes:

• O horário de embarque e desembarque do passageiro
• O tempo que o passageiro passa esperando que outros passageiros embarquem e desembarquem.
• O tempo que o passageiro passa durante a parada do elevador (onde o tempo de parada inclui o tempo de aceleração e desaceleração, bem como os tempos de abertura e fechamento das portas).
• O tempo que o passageiro passa na cabine do elevador viajando em velocidade máxima.

O primeiro componente, que é o horário de embarque e desembarque do passageiro, é fácil de avaliar:

Para calcular o segundo componente, assume-se que, em média, o passageiro terá os P-1 passageiros restantes à sua frente e a outra metade atrás dele. Assim, ele terá que esperar pelos passageiros. para entrar no elevador depois de já ter entrado e terá que esperar passageiros devem desembarcar antes que ele/ela possa desembarcar.

Quanto ao tempo gasto nas paradas do elevador, vale ressaltar que todos os passageiros terão que esperar pelo menos até a primeira parada (passageiros que embarcam no térreo não podem desembarcar no térreo e devem esperar pelo menos até a primeira parada). Portanto, todos os passageiros devem esperar t_s, no mínimo, causado pela primeira parada. No máximo, um passageiro pode ter que esperar por todo o S para acima, São_sNenhum dos passageiros esperará pela última parada (fechamento da porta no último andar, aceleração e desaceleração durante a viagem expressa de volta e abertura das portas na entrada principal) e, portanto, a espera é para S para, em vez de S + 1 parada. A média dos dois valores acima fornece o tempo médio de espera de cada passageiro durante as paradas do elevador no sentido ascendente:                                           

Em média, cada parada percorrerá uma distância de andares. Todos os passageiros terão que esperar essa distância para
deve ser percorrido em velocidade de parada, pelo menos, já que nenhum passageiro racional pode embarcar e desembarcar no terminal principal. Como um
No máximo, alguns passageiros terão que esperar que todos os andares H sejam percorridos. O tempo mínimo será de
t_v . , enquanto o tempo máximo será t_v A seguinte equação calcula a média dos dois tempos e fornece uma expressão para o tempo gasto durante a viagem em velocidade máxima na direção ascendente:

A soma dos quatro termos fornece uma expressão para o att:

Reorganizando e assumindo que , o resultado final importante para o att é:

Uma expressão semelhante para o tempo médio de viagem foi derivada. utilizando um método diferente, conforme mostrado na Equação 7:

Vale ressaltar que a expressão na Equação 6 difere daquela na Equação 7 por incluir um termo adicional. tp, onde isso explica o fato de que esta definição de tempo de espera inclui o tempo de embarque do passageiro, enquanto a Equação 7 exclui o tempo de embarque do passageiro.

Vale ressaltar também que as Equações 6 e 7 fazem implicitamente as seguintes suposições:

• A velocidade máxima é atingida em um percurso de um único andar.
• Somente tráfego de entrada
• Pisos com a mesma altura
• Entrada única

A equação do tempo de viagem de ida e volta depende dos valores de S (número provável de paradas), H (o piso de reversão mais alto) e P (o número de passageiros no carro), conforme mostrado na Equação 16.

O nível máximo de inversão de marcha é uma função do número de passageiros:

H= f (P) (Equação 9)

O número provável de paradas também é uma função do número de passageiros:

S= f (P) (Equação 10)

O número de passageiros na cabine do elevador é igual ao produto da taxa de chegada de passageiros pelo intervalo real:

Mas, na verdade, o intervalo é uma função do tempo de ida e volta, como mostrado na Equação 12:

Combinando as equações 11 e 12, observa-se que o número de passageiros é uma função da viagem de ida e volta:

Como se pode concluir das Equações 8 e 13, o tempo de viagem de ida e volta é uma função do número de passageiros, mas o número de passageiros é uma função do tempo de viagem de ida e volta. Assim, a equação para o tempo de viagem de ida e volta mostrada na equação (8) é uma equação implícita do tempo de viagem de ida e volta que só pode ser resolvida por meio de uma abordagem iterativa (ou outros métodos matemáticos, como mapeamento conforme). Isso foi abordado como parte de uma metodologia de projeto abrangente.

Ao alterar as equações para H e S Para abordar o modelo de chegada de passageiros de Poisson, o termo que representa a probabilidade de um passageiro não viajar até o i-ésimo andar pode ser alterado conforme mostrado na Tabela 1. A probabilidade de um passageiro não viajar até o andar I, Considerando populações iguais nos andares para os modos de chegada constante e de Poisson, também é mostrado na Tabela 1:

A probabilidade de que nem todos os passageiros desçam para um andar. i Os resultados (considerando populações iguais nos andares) para os modelos de chegada constante e de Poisson são mostrados na Tabela 2:

Isso pode ser ainda mais desenvolvido para o caso de populações desiguais por andar, conforme mostrado na Tabela 3.

A probabilidade de todos os passageiros não irem para o andar de baixo. i é equivalente à probabilidade de o elevador não parar no andar. iEssas expressões são usadas para derivar os valores de H e S, conforme mostrado nas Equações 20-27.

A equação para calcular o tempo médio de viagem (Equação 8) pode lidar com uma série de condições especiais, como alturas de piso desiguais e modelo de chegada de Poisson, usando o número provável de paradas e o piso de reversão mais alto calculados, de acordo com as Equações 20-27.

Verificação

A derivação da equação para att foi necessária para verificar o uso da simulação de Monte Carlo. Uma repetição dos cálculos realizados em “Nova fórmula para estimar o tempo médio de viagem”, Os testes foram realizados e os resultados são apresentados na Tabela 6. Os resultados mostram excelente concordância com os resultados dos cálculos.

Tabela 6: Resultados da verificação para att, comparando o cálculo e a simulação de Monte Carlo.

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N	P	Equação analítica, assumindo processo de chegada constante (Equação 7)	Simulação de Monte Carlo (assumindo processo de chegada constante)
10	6.4	48.19	48.18
10	16.8	74.46	74.40
13	6.4	53.65	53.67
13	16.8	84.00	84.00
16	10.4	73.27	73.27
16	20.8	101.97	101.97
20	10.4	80.70	80.72
20	20.8	112.85	112.85
23	12.8	94.74	94.65
23	26.4	135.00	135.03

No entanto, a força do método de simulação de Monte Carlo torna-se evidente quando existem condições especiais (como velocidade máxima não atingida ou múltiplas entradas), que o método de cálculo não consegue lidar. Isso será ilustrado mais adiante neste artigo.

Caso de pisos com alturas diferentes

Caso as alturas dos pisos sejam desiguais, isso afetará o cálculo do tempo de ida e volta. A equação para o tempo de ida e volta, ou att, pode ser alterada da seguinte forma para levar em conta essa situação.

O efeito das alturas desiguais dos pisos pode ser levado em consideração assumindo uma altura efetiva do piso df eff que pode ser inserida na equação original do tempo de viagem de ida e volta.

A altura efetiva do piso (df_eff) é o valor esperado da altura do piso. A altura efetiva do piso é a média ponderada de todas as alturas dos pisos, multiplicada pela probabilidade de o elevador passar por aquele piso. Para que o elevador passe por um piso, ele deve ir até um dos pisos acima daquele. Portanto, é necessário encontrar a probabilidade de o elevador ir até um piso acima de um determinado andar. i.

A probabilidade de o elevador não parar em um determinado andar, assumindo populações iguais em cada andar, é a probabilidade de que o passageiro j irá parar em um andar i (Considerando populações iguais por andar e um modelo de chegada de passageiros constante).

Assim, a probabilidade de o passageiro j não vai parar em um andar i é:

Mas o carro contém P passageiros. Portanto, a probabilidade de nenhum deles parar no andar i é o produto de todas as suas respectivas probabilidades:

A probabilidade de o elevador não subir mais do que um andar. i é a probabilidade de que não pare no chão i +1, i + 2 ou i + 3 até o chão NIsso se expressa como o produto dessas probabilidades condicionais individuais:

Isso pode ser reescrito como:

Colocar todos os termos dentro do mesmo parêntese resulta em:

Isso simplifica para:

Assim, a probabilidade de o elevador se deslocar acima do andar i é:

Assim, o valor esperado da distância percorrida pode ser calculado como a média ponderada das diferentes alturas dos andares, da seguinte forma:

O último termo acima se reduz a zero (pois é impossível para o elevador passar pelo andar). NA altura esperada do piso é obtida dividindo-se a distância total de percurso esperada pelo piso de inversão mais alto. HAssim, a equação para a altura efetiva do piso pode ser expressa como mostrado na equação (36) (assumindo populações iguais nos andares e um modelo de chegada de passageiros constante):

O mesmo procedimento pode ser usado para desenvolver a equação para o caso de populações desiguais e o modelo de chegada de passageiros de Poisson.

Um edifício com 20 andares acima do solo foi analisado para ilustrar a diferença na altura efetiva dos andares. As alturas dos andares são mostradas na Tabela 7. Assume-se que a população de passageiros em cada andar é igual e que o processo de chegada de passageiros é constante (em vez de Poisson). Assume-se também que o número de passageiros (P) é 13.

Chão #	i	df(i) (m)
L20	21	3.2
L19	20	3.2
L18	19	3.2
L17	18	4.2
L16	17	4.2
L15	16	4.2
L14	15	4.2
L13	14	4.2
L12	13	4.2
L11	12	4.2
L10	11	4.2
L9	10	4.2
L8	9	4.2
L7	8	4.2
L6	7	4.2
L5	6	4.2
L4	5	4.2
L3	4	6
L2	3	6
L1	2	6
G	1	8

N	P	Equação analítica, assumindo processo de chegada constante (Equação 7)	Simulação de Monte Carlo (assumindo um processo de chegada constante)	Monte Carlo Simulação (assumindo Poisson) processo de chegada)
		para	para	t	para	t
10	6.4	48.19	48.18	114.26	47.37	111.72
10	16.8	74.46	74.40	170.82	73.90	169.49
13	6.4	53.65	53.67	131.27	53.08	128.83
13	16.8	84.00	84.00	197.40	83.36	195.75
16	10.4	73.27	73.27	180.98	72.60	178.80
16	20.8	101.97	101.97	241.80	101.25	240.21

Aplicando a Equação 24 para avaliar o limite inferior de reversão mais alto, obtemos um valor para H de 18.95 (assumindo que os andares sejam numerados de 1 a 21). Em seguida, aplicando a Equação 36 para avaliar a altura efetiva do piso, obtém-se um valor de 4.62 m. Isso pode ser comparado à altura média de todos os pisos, que é de 4.50 m. Existe uma diferença de 0.12 m por piso.

Tabela 7: Alturas dos pisos para um edifício com 20 andares acima do solo

O tempo médio de deslocamento dos passageiros pode ser calculado para avaliar o efeito de diferentes alturas de piso, utilizando a Equação 7. Usando os parâmetros mostrados abaixo, em que a velocidade nominal é atingida em um percurso de um andar, assume-se apenas uma única entrada e um modelo de chegada de passageiros constante:

• t_do = 2 s.
• t_dc = 3 s.
• t_sd = 0.5 s.
• t_ao = 0 s.
• t_pi = 1.2 s.
• t_po = 1.2 s.
• v = 1.6 m/s
• a = 1 m/s²
• j = 1 mps³

Os resultados dos cálculos e da simulação de Monte Carlo para o tempo de ida e volta e para o att são apresentados na Tabela 8.

O uso da altura efetiva do piso resulta em uma diferença de cerca de 3 segundos no tempo de ida e volta e de cerca de 1 segundo no tempo de percurso. Além disso, o simulador de Monte Carlo fornece resultados idênticos ao método de cálculo da equação modificada.

O Efeito do Modelo de Chegada de Passageiros de Poisson

Nesta seção, é realizada uma investigação mais aprofundada sobre o efeito do modelo de chegada de passageiros no tempo de ida e volta e no tempo médio de permanência (TMP). A Tabela 9 mostra o TMP e o tempo de ida e volta para diversos edifícios, utilizando o modelo de chegada de passageiros constante e o modelo de chegada de Poisson. A adoção de um modelo de chegada de Poisson resulta em uma pequena redução nos valores do tempo de ida e volta e do TMP.

Em geral, à medida que o número de passageiros muda, o modelo de chegada de Poisson resulta em um valor menor para o tempo de viagem de ida e volta e para o tempo médio de viagem, conforme mostrado nas Figuras 1 e 2, respectivamente.

Exemplo Prático

Para ilustrar a utilização do método de Simulação de Monte Carlo no projeto de tráfego de elevadores, apresenta-se o seguinte exemplo prático. O exemplo visa ilustrar a aplicação do método na combinação dos seguintes casos especiais:

• Modelo de chegada constante de passageiros
• Populações desiguais nos andares
• Alturas de piso desiguais
• A velocidade máxima não foi atingida em uma viagem de um andar.
• Entradas múltiplas

Um edifício de escritórios tem uma taxa de chegada (AR%) de 12%. Deseja-se projetar o sistema de elevadores de forma a atingir um intervalo alvo de 30 segundos. O método de projeto automatizado desenvolvido em “Metodologia de Projeto Ótimo Automatizado de Sistemas de Elevadores usando Regras e Métodos Gráficos (o plano HARint)” é utilizado para o projeto, e a simulação de Monte Carlo é usada para calcular o tempo de ida e volta, conforme mostrado em “O uso da simulação de Monte Carlo na avaliação do tempo de ida e volta do elevador em condições de tráfego de pico ascendente”.

Os seguintes parâmetros são utilizados:

• t_do = 2 s.
• t_dc = 3 s.
• t_sd = 0.5 s.
• t_ao = 0 s.
• t_pi = 1.2 s.
• t_po = 1.2 s.
• v = 4 m/s (a velocidade máxima não será atingida em uma viagem de um andar). )  
• a = 1 mps²
• j = 1 mps³

O projeto resultante é mostrado abaixo:

• Modelo de chegada constante de passageiros
• Tempo de viagem de ida e volta: 177.72 s.
• Tempo médio de viagem: 71.73 s.
• Número de elevadores: sete
• Intervalo alvo: 30 segundos.
• Intervalo real: 25.39 s.
• Passageiro real P: 10.15 passageiros
• Capacidade do veículo: 13 passageiros/1000 kg
• Carregamento de carros: 78%

Chão #	df(i) (m)	Entrada chegada percentagem	População
L20	4	-	30
L19	4	-	38
L18	4	-	38
L17	4	-	38
L16	4	-	38
L15	4	-	38
L14	4	-	38
L13	4	-	38
L12	4	-	38
L11	4	-	38
L10	4	-	38
L9	4	-	38
L8	4	-	38
L7	4	-	38
L6	4	-	38
L5	4	-	38
L4	4	-	100
L3	6	-	100
L2	6	-	100
L1	6	-	100
G	8	70%	-
B1	3.2	10%	-
B2	3.2	10%	-
B3	3.2	10%	-

	Número de testes
10	100	1,000	10,000	100,000	1,000000
Leituras para o tempo de viagem de ida e volta (s).	150	154.7813	153.8286	154.1935	154.1368	154.1514
153.87	153.8205	154.3263	154.1499	154.205	154.1547
152.745	152.9183	153.6842	153.8559	154.1622	154.1546
155.7375	152.6933	153.7789	153.9662	154.1579	154.1587
154.6125	153.4088	154.1551	154.0913	154.1548	154.1553
156.3	155.4473	153.8216	154.2747	154.1166	154.1585
156.5475	154.0455	154.0831	154.1364	154.1485	154.1510
162.2175	153.3323	154.5007	154.1614	154.2053	154.1533
156.5475	153.708	154.4249	154.1944	154.1861	154.1614
147.75	155.049	154.2289	154.1461	154.1513	154.1557

Notas sobre a convergência do simulador de Monte Carlo

Nesta seção, é realizada uma análise da convergência do resultado final do simulador de Monte Carlo, utilizado para calcular o tempo de ida e volta e o att.

O número de tentativas pode ser selecionado para obter maior precisão. Os resultados do tempo de ida e volta para um edifício de exemplo são mostrados na Tabela 11. A análise é realizada 10 vezes para cada número de tentativas.

Os resultados de todas as simulações de Monte Carlo são apresentados em um diagrama de dispersão na Figura 3, a fim de ilustrar visualmente a relação entre a precisão do método e o número de tentativas. O efeito do número de tentativas na precisão da resposta final é apresentado na Figura 4. Com base nos resultados da figura, são necessárias 100,000 tentativas para obter precisões melhores que ± 0.1%.

No exemplo da Figura 4, é apresentada uma análise do tempo de execução para um número crescente de tentativas e a precisão resultante. Isso fornece um guia para o projetista em termos de equilíbrio entre precisão e tempo de execução.

Vale ressaltar que esses tempos de execução são baseados na execução de código MATLAB. O uso de outras ferramentas, como C++, por exemplo, proporcionaria um software muito mais rápido, reduzindo significativamente o tempo de execução.

Número de iterações	Desvio percentual em relação à média	Duração (s.) (por exemplo, 10 andares acima do solo, 13 passageiros)
10	± 4.678%	<1
100	± 0.895%	<1
1,000	± 0.265%	<1
10,000	± 0.136%	<1
100,000	± 0.029%	7
1,000000	± 0.003%	70

Conclusões

A simulação de Monte Carlo foi utilizada para calcular o tempo médio de deslocamento de passageiros em um sistema de elevadores em condições de tráfego ascendente. Os resultados da simulação de Monte Carlo foram verificados para os casos mais simples utilizando uma fórmula analítica para o tempo médio de deslocamento que foi derivada. Essa verificação apresentou boa concordância.

A equação analítica foi aprimorada para lidar com o caso de alturas de piso desiguais, e uma verificação adicional foi realizada com boa concordância. As equações analíticas para o att podem ser aplicadas aos casos de populações desiguais por andar e ao modelo de chegada de passageiros de Poisson.

A eficácia da simulação de Monte Carlo se destaca quando uma combinação das seguintes condições especiais está presente em um edifício: alturas de piso desiguais, populações de piso desiguais, múltiplas entradas, modelo de chegada de Poisson e velocidade máxima não atingida. Um exemplo prático de projeto é apresentado para demonstrar como o método pode ser utilizado para calcular o tempo de ida e volta e a atratividade.

São apresentados comentários sobre a taxa de convergência do método e o efeito do número de tentativas na precisão do resultado. Um guia é fornecido ao projetista quanto à relação de compromisso entre o número de tentativas, a precisão do método e o tempo de execução.

Apresentado no 1º Simpósio sobre Tecnologias de Elevadores e Escadas Rolantes na Universidade de Northampton, setembro de 2011.

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Referências
[1] Lutfi Al-Sharif, Husam M. Aldahiyat e Laith M. Alkurdi, “O uso da simulação de Monte Carlo na avaliação do tempo de ida e volta do elevador em condições de tráfego de pico”, Building Services Engineering Research and Technology 0143624411414837, publicado pela primeira vez em 21 de outubro de 2011 como doi:10.1177/0143624411414837.
[2] CM Tam e Albert PC Chan, “Determinação da política de estacionamento gratuito de elevadores usando simulação de Monte Carlo”, International Journal of Elevator Engineering, Volume 1, 1996, pp. 24-34.
[3] Bruce A. Powell, “O papel da simulação computacional no desenvolvimento de um novo produto de elevador”, Anais da Conferência de Simulação de Inverno de 1984, pp. 445-450, 1984.
[4] Assim, ATP e Suen WSM, “Nova fórmula para estimar o tempo médio de viagem”, Elevatori, Volume 31, nº 4, 2002, pp. 66-70.
[5] CIBSE, Guia CIBSE D: Sistemas de transporte em edifícios, publicado pelo Chartered Institute of Building Services Engineers (CIBSE), Terceira Edição, 2005.
[6] GC Barney, Manual de tráfego de elevadores: teoria e prática, Taylor & Francis, 2002.
[7] RD Peters, “Análise de tráfego de elevadores: fórmulas para o caso geral”, Building Services Engineering Research and Technology, Volume 11, No. 2, 1990
[8] Richard D. Peters, “A teoria e a prática dos cálculos gerais de análise de elevadores”, Anais da 4ª Conferência Internacional sobre Tecnologias de Elevadores (Elevcon 1992), Amsterdã, maio de 1992.
[9] NA Alexandris, GC Barney, CJ Harris, “Análise e projeto de sistemas de elevadores para vários carros”, Modelagem matemática aplicada, Volume 3, agosto de 1979.
[10] NA Alexandris, GC Barney, CJ Harris, “Derivação do andar médio de reversão mais alto e número esperado de paradas em sistemas de elevadores”, Modelagem Matemática Aplicada, Volume 3, agosto de 1979.
[11] NA Alexandris, CJ Harris, GC Barney, “Avaliação da capacidade de manuseio de sistemas de elevadores multicarros”, Modelagem Matemática Aplicada, Volume 5, fevereiro de 1981.
[12] NA Alexandris, “Mean highest reversal floor and expected number of stops in lift-stairs service systems of multi-level buildings,” Applied Mathematical Modeling, Volume 10, April 1986.
[13] NR Roschier, MJ, Kaakinen, “Novas fórmulas para cálculos de tempo de viagem de ida e volta de elevadores”, suplemento ELEVATOR WORLD, 1978.
[14] Lutfi Al-Sharif, “O efeito de múltiplas entradas no tempo de viagem de ida e volta do elevador em horários de pico”, Modelagem Matemática e Computacional, Volume 52, Edições 3-4, Agosto de 2010, pp. 545-555.
[15] Richard David Peters, “Planejamento de transporte vertical em edifícios”, Tese de doutorado, Universidade Brunel, Departamento de Engenharia Elétrica, fevereiro de 1998.
[16] Richard D. Peters, “Ideal Lift Kinematics,” Elevator Technology 6, IAEE Publications, 1995.
[17] Lutfi Al-Sharif, Ahmad M. Abu Alqumsan, Osama F. Abdel Aal, “Metodologia de projeto ótimo automatizado de sistemas de elevadores usando regras e métodos gráficos (o plano HARint)”, publicado online em 12 de abril de 2012, doi: 10.1177/0143624412441615, Building Services Engineering Research Technology, 12 de abril de 2012 0143624412441615.