Fred Hymans e a Teoria da Tração por Corda, Parte Um

São aqui registradas as contribuições técnicas de uma lenda da indústria.

A influência e o impacto de Frederick “Fred” Hymans na indústria de elevadores, relacionados à teoria matemática da tração por cabos, serão amplamente documentados. A primeira parte desta série em duas partes traçará suas contribuições técnicas para o tema da tração por cabos, e a segunda apresentará um breve relato histórico sobre o homem. Historiadores são convidados a compartilhar qualquer conhecimento adicional sobre Hymans.

A relação Euler-Eytelwein

Antes de discutir suas contribuições, o conceito de tração como parâmetro deve ser devidamente atribuído. A equação fundamental que relaciona a razão entre as tensões da corda nos lados de entrada e saída da polia motriz com a tração disponível para qualquer sistema corda/polia é a equação clássica de Euler-Eytelwein.[1] Ela é atribuída a Leonhard Euler (1707-1783) e Johann Albert Eytelwein (1764-1848), ambos estudiosos de uma época anterior.

Um sistema simplificado de elevador de cabos na escala 1:1 é mostrado na Figura 1. As notações utilizadas são definidas no final deste artigo. As unidades dimensionais do SI são apresentadas.

A equação de Euler-Eytelwein é válida quando duas extremidades de uma corda com tensões diferentes são enroladas em uma polia ou objeto similar, como uma árvore, poste ou cabrestante de navio. A equação abrange as forças de tração (tensões) da corda em ambas as direções. Para que a corda não deslize, a razão entre as tensões deve satisfazer a relação geral de Euler-Eytelwein:

                                                        

Para elevadores, a Equação (1) pode ser reescrita para refletir o ponto de iminente deslizamento da corda como:                                                                                                                                                                      

Ao analisar a equação de Euler-Eytelwein, observa-se a presença de duas condições. Primeiro, quando as massas dos vagões são maiores que a massa do contrapeso, T₁ > T₂ e os termos do meio e da direita da Equação (2) são usados, de modo que:                                                                      

Em segundo lugar, quando a massa do contrapeso é maior que as massas do carro, , e os termos esquerdo e central da Equação (2) são usados:                                                                      

A equação (4) pode ser reescrita como:                                                                                                                                          

a partir do qual:

Os cálculos matemáticos comprovam a conclusão óbvia: a razão entre a tensão na corda mais grossa e a tensão na corda mais fina não deve ser maior que a tração disponível entre as cordas e as ranhuras da polia. Os lados direitos das Equações 3 e 6 representam a tração disponível para uma corda e uma superfície trativa generalizadas na polia, que é expressa como:

                                                                                     

O guincho de fricção da mina Koepe

Antes de discutir a contribuição de Hymans para a teoria da tração por corda, é importante mencionar a contribuição de Friedrich Koepe, um engenheiro de mineração alemão, para a aplicação prática dos acionamentos de tração. Koepe desenvolveu seu guincho de fricção, que se popularizou na indústria de mineração alemã. Até então, na década de 1870, os guinchos de mina eram operados por tambor. Em 1877, Koepe divulgou seu conceito de acionamento por fricção na Alemanha, sob a patente nº 218 (1º de agosto de 1877)[2]; posteriormente, na Áustria (26 de outubro de 1877); na Bélgica (31 de outubro de 1877); na França (2 de novembro de 1877); na Inglaterra (19 de novembro de 1877); e nos EUA, sob a patente nº 206,251 (23 de julho de 1878).[3] Ao analisar as origens do desenvolvimento dos elevadores de tração entre 1877 e 1891, o Dr. Lee Gray observou:

“O sucesso deste elevador e a correlação entre a sua operação e o comprimento da subida com os requisitos emergentes de elevadores dos arranha-céus americanos parecem indicar uma ligação bastante direta entre esta inovação e os desenvolvimentos posteriores nos EUA. No entanto, embora esta afirmação seja ocasionalmente feita, não há, na verdade, nenhuma evidência clara que ligue o elevador de Koepe ao desenvolvimento do elevador de tração nos EUA”[5]

A patente alemã de Koepe incorporava uma grande polia motriz com um canal metálico profundo em forma de U, no qual o cabo de içamento único entrava em contato com uma ranhura semicircular (Figura 3), retirada da patente alemã. Em um projeto alternativo divulgado na patente americana, blocos de madeira eram montados na borda da polia para fornecer um assento resistente ao desgaste para o cabo de içamento. Na patente americana,[3] o texto afirma: “A ranhura da polia de enrolamento é, preferencialmente, revestida com madeira ou outro material macio adequado com o objetivo de aumentar o atrito e diminuir o desgaste do cabo.” O Anuário de Engenheiros de Kempe detalhou os diferentes assentos de cabo empregados nos guinchos de fricção Koepe: “Blocos de madeira são fixados em um recesso na borda da roda (polia). Na Alemanha, inserções de couro, borracha ou fibra aglomerada são colocadas em blocos de madeira.” [4]

Koepe utilizou o atrito disponível na ranhura para acionar o sistema de guincho de mina de dois carros, mas não afirmou ter desenvolvido formatos de ranhura de polia que otimizassem a tração disponível para atender às necessidades de um sistema de elevador. É importante notar que, no guincho de fricção de Koepe, cada carro com carga aproximadamente igual contrabalança o outro (Figura 2).

Embora deva-se observar a cronologia mundial das invenções relacionadas a sistemas de fricção (tração), o guincho de fricção de Koepe é notável. No entanto, como Gray postulou, não há evidências que sustentem a noção de que o guincho de fricção de Koepe tenha aberto caminho para o desenvolvimento subsequente de acionamentos de tração para elevadores.[5] Na verdade, a invenção de Koepe focou apenas em uma das duas variáveis ​​que compõem o expoente,
µθ, ou seja, o ângulo de envolvimento, θ, na Equação (7), mas não o coeficiente de atrito, µ. O desenvolvimento subsequente na indústria de elevadores focou-se tanto no coeficiente de atrito, μ, e o ângulo de enrolamento, θ, na equação (7).

Contribuições de Frederick Hymans

Neste ponto, pode-se perguntar: “Dada a brilhante hipótese expressa pela equação de Euler-Eytelwein, onde entra Hymans e qual é a sua contribuição para o tema da tração por cabos?” Tudo começa com os pontos notáveis ​​divulgados em uma apresentação de um artigo da Sociedade Americana de Engenheiros Mecânicos (ASME). Em sua apresentação à Seção de Transportes da ASME no outono de 1938, David L. Lindquist, engenheiro-chefe da Otis de 1912 a 1944, traçou a evolução técnica das máquinas elétricas de tração e das ranhuras das polias de acionamento.[6] Sua apresentação também relatou o uso inicial de vários tipos de elevadores desde a década de 1850, incluindo os elevadores hidráulicos de alta velocidade com cabos para edifícios altos. Além de seus comentários sobre sistemas de controle, dispositivos de segurança, reguladores, amortecedores, intertravamentos, etc., várias seções de sua apresentação fornecem um contexto considerável para a discussão das ranhuras das polias de acionamento para máquinas de tração elétrica, com base na considerável pesquisa e desenvolvimento de Hymans, como segue:

“Pelo que se sabe, a primeira tentativa de aplicar um motor elétrico a um elevador foi feita em 1887 por William Baxter em Baltimore e, em 1889, os primeiros elevadores elétricos bem-sucedidos foram instalados pela Otis Brothers and Co. no Edifício Demarest, na Quinta Avenida com a Rua 33, na cidade de Nova York. Esses últimos elevadores eram do tipo com tambor de engrenagem helicoidal e permaneceram em serviço por cerca de 35 anos.”

“Muitas melhorias foram feitas no elevador elétrico tipo tambor, mas sua velocidade era limitada a cerca de 400 pés por minuto, e o percurso era limitado pelo comprimento do tambor de enrolamento, que não podia exceder a largura da caixa do elevador.

“Muitas tentativas foram feitas para aprimorar o elevador elétrico para uso em edifícios altos, eliminando o tambor. Entre os tipos usados ​​comercialmente estavam:

• O elevador de parafuso Sprague-Pratt de 1894 utilizava as polias multiplicadoras e o sistema de cabos do elevador hidráulico, mas movia a cruzeta por meio de um parafuso acionado por um motor elétrico.
• Elevador Fraser de 1899, que utilizava dois motores elétricos e um sistema de tração diferencial por cabos.
• Elevador de tração sem engrenagens Van Buren de 1903 com relação de redução de 2:1 por cabo.
• No mesmo ano, a Otis Elevator Co. desenvolveu o elevador de tração sem engrenagens com relação de transmissão de 1:1, e o primeiro foi instalado em 1904 na Usina Elétrica da Rua Duane, pertencente à New York Edison Co.

“As vantagens óbvias do princípio de tração demonstrado pelo elevador de tração sem engrenagens levaram à sua aplicação na máquina do elevador com engrenagens como substituto do tambor de enrolamento.

Em 1911, foi feita a primeira tentativa conhecida de usar corda de volta única em máquinas com engrenagens, mas não foi possível obter tração suficiente com a ranhura redonda convencional e, portanto, alguma forma de ranhura de pinçamento se fez necessária. A corda de volta única era obviamente uma simplificação.

Inicialmente, utilizava-se um sulco de compressão em forma de V. Esse formato de sulco proporcionava boa tração quando a polia era nova, mas, com o desgaste das cordas, a ação de compressão e, consequentemente, a tração, diminuíam consideravelmente. Era praticamente impossível determinar, por inspeção, a que distância estava o ponto de risco de deslizamento, de modo que se pudesse providenciar, em tempo hábil, a recalibração ou a substituição da polia.

Para serviços intermitentes em baixa velocidade e com pouca tensão no cabo, os sulcos em V não se desgastavam rapidamente, mas para obter tração constante (independente do desgaste) e um desgaste menos acelerado, adotou-se o sulco redondo com rebaixo. É evidente que este último tipo de sulco proporcionava a mesma ação de compressão e, portanto, a mesma tração durante toda a vida útil do sulco. Para elevadores de alta velocidade e de grande altura, sempre se utilizou o enrolamento duplo com sulcos redondos.

“A demanda por um elevador com engrenagens de baixa velocidade e preço mais acessível e, em particular, o desejo de eliminar o elevador tipo tambor, inerentemente perigoso, impulsionaram a comercialização de um elevador de tração de volta única.

“Inicialmente, utilizava-se uma ranhura de pinçamento em forma de V de 30°. Esse formato de ranhura proporcionava boa tração quando a polia era nova, mas, com o desgaste das cordas, a ação de pinçamento e a tração correspondente eram frequentemente reduzidas a ponto de causar deslizamento. Para evitar o desgaste rápido e a consequente redução da tração, agora geralmente se utiliza uma ranhura circular com rebaixo.”

A máquina de tração elétrica sem engrenagens substituiu o sistema de elevador hidráulico de alta velocidade com múltiplas polias no início do século XX (Tabela 1). Na evolução das primeiras máquinas de elevadores de tração elétrica e dos métodos de acionamento por cabos, surgiu primeiro a máquina com engrenagem helicoidal e um tambor para acionar os cabos de tração. Em seguida, veio a máquina sem engrenagens com acionamento por tração, seguida pela máquina com engrenagem helicoidal com a polia de acionamento inserida no lugar do tambor, resultando no acionamento por tração. Enquanto a indústria de elevadores em geral utilizava ranhuras em V nas polias de acionamento das máquinas de tração com engrenagem helicoidal, as ranhuras das polias de acionamento da Otis passaram a ser do tipo ranhuras rebaixadas (U/C), com base na análise e no projeto da família de ranhuras U/C de Hymans.

As ranhuras das polias de acionamento para as máquinas de elevadores de tração sem engrenagens de dupla volta (DWT) do início do século XX eram baseadas nas ranhuras de assento circular usadas inicialmente em máquinas de tambor, porém com ranhuras mais profundas. As ranhuras das polias de acionamento das primeiras máquinas sem engrenagens da Otis, também do início do século XX, foram descritas em um artigo da American Heritage, cujo conteúdo, em grande parte, foi baseado em informações da própria Otis.

“Uma variedade comum, usada pela primeira vez por Otis em 1903, é a máquina de tração sem engrenagens, movida por um motor elétrico de velocidade variável localizado no topo do poço do elevador. Este motor aciona uma grande polia com ranhuras profundas, sobre a qual [passa] um conjunto de cabos paralelos que são fixados em uma extremidade no topo do elevador e na outra em um contrapeso pesado. . . .”[7]

A referência a uma “polia com ranhuras profundas” sugere que as ranhuras circulares do assento, utilizadas nas máquinas sem engrenagens, eram mais profundas. Essa descrição está de acordo com a tecnologia de ranhuras para polias e tambores, utilizada desde o início da fabricação de cabos de aço. As polias eram projetadas e fabricadas com ranhuras mais profundas do que os tambores. As ranhuras dos tambores eram tipicamente rasas para acomodar a tração lateral dos cabos à medida que estes sofriam os ângulos de rotação durante o enrolamento ou desenrolamento.

Cabos que correm em ranhuras circulares na polia de acionamento apresentavam deslizamento em sistemas de tração de volta única (SWT), o que tornou necessária a implantação de uma ranhura de tração mais alta. Assim, surge a ranhura em V para sistemas de tração SWT com engrenagens helicoidais.

As primeiras polias de acionamento de elevadores de tração com engrenagens, a partir de 1911, utilizavam ranhuras em V devido à sua alta capacidade de tração, atribuída ao pinçamento do cabo dentro da ranhura. Quando a ranhura é nova, o cabo entra em contato com o perfil em V em dois pontos, em lados opostos da ranhura (Figura 4(a)), nos pontos a e b, resultando em pressões muito altas entre o cabo e a ranhura e em um alto esforço de tração. Com o passar do tempo, o cabo desgasta-se formando um assento arredondado em ambos os lados da ranhura em V (Figura 4(b)), diminuindo assim o efeito de pinçamento do perfil em V, induzindo pressões menores entre o cabo e a ranhura, o que, por sua vez, resulta em uma redução da tração disponível. Com o passar do tempo, a condição continua a piorar (Figura 4(c)). Quando isso ocorre, a cabine continua deslizando sobre o piso durante a desaceleração, e o desgaste entre o cabo e a ranhura acelera. A única ação corretiva é refazer os sulcos da polia para o seu perfil original.[10 e 11]

Em sua patente de 1897,[8 e 9] Augustus L. Duwelius, embora não tenha feito nenhuma reivindicação de invenção com relação à tração disponível na ranhura da polia motriz em suas 28 reivindicações de patente, descreveu o uso contemporâneo de cabos de içamento de ferro operando em polias motrizes com ranhura em V na época:

Para garantir o grau de engate entre a polia motriz e o cabo de içamento necessário para transmitir a força à cabina do elevador, era prática comum dotar as polias motrizes de ranhuras com dois lados em ângulo agudo, assemelhando-se à letra V. O encaixe do cabo de içamento na ranhura, se suficientemente agudo, assegurava a transmissão da força motriz. O efeito imediato disso sobre o cabo de ferro macio empregado era o seu deformação por compressão, causando uma alteração na estrutura molecular dos fios, seguida pelo desgaste por fricção na parte externa do cabo, decorrente do seu encaixe e desencaixe repetidos na ranhura, e sua destruição inicial em um período de uso tão curto que tornava seu emprego dessa maneira imprevisível e perigoso. Isso se devia à compressão na ranhura em V e à pressão resultante do peso combinado da cabina com sua carga e o contrapeso.

No início de sua carreira na Otis, Hymans percebeu a necessidade de uma solução para os perfis ideais de ranhuras das polias para aplicações de tração em esteiras (SWT) atendidas por máquinas de tração com engrenagens, o principal mercado da Otis. Otimizar a capacidade de tração para o mercado de máquinas com engrenagens atingiria dois objetivos: primeiro, fornecer uma gama de valores de tração disponíveis entre os oferecidos pela ranhura com assento redondo e pela ranhura em V; segundo, reduzir o desgaste da corda e da ranhura a um nível mais razoável. Hymans propôs que um perfil de ranhura com a parte inferior da ranhura recortada (Figura 5(a)) seria eficaz para manter uma quantidade fixa de tração disponível e suporte adequado da corda à medida que o desgaste da ranhura ocorresse, desde que o suporte vertical da corda permanecesse constante.

O modelo matemático de Hymans baseava-se, portanto, na manutenção de um suporte vertical relativamente constante para a corda à medida que o desgaste da ranhura ocorria. Referindo-se à Figura 5,[10 e 11] um U/C vertical reto dos pontos a a b é fornecido na parte inferior da ranhura, de modo que, à medida que o desgaste da ranhura ocorria, a corda continuaria a ter um suporte vertical relativamente constante. Na Figura 5(a), a largura horizontal do U/C é definida pelo ângulo subtendido pelas letras aob, definido posteriormente como o ângulo U/C da ranhura, β, (Figura 6).

 Um comentário inicial de um porta-voz da Otis na época do primeiro contrato da empresa para máquinas de tração elétrica sem engrenagens no Edifício Beaver, na cidade de Nova York (NYC), em 1903, foi registrado na “Edição Especial de 125º Aniversário do Boletim da Otis”, que dizia:

“Em um elevador, de seis a oito cabos de aço, ou cordas de içamento, são fixados no topo do elevador e enrolados na polia motriz do motor elétrico em ranhuras especiais. A outra extremidade dos cabos é presa a um contrapeso que desliza para cima e para baixo no poço do elevador sobre seus próprios trilhos-guia.”

“O peso do elevador numa extremidade e o contrapeso na outra pressionam os cabos contra as ranhuras da polia. Quando o grande motor elétrico gira a polia, move os cabos com quase nenhum deslizamento.” [12]

A descrição do porta-voz sobre as cordas sendo pressionadas nas ranhuras com quase nenhum deslizamento é consistente com dois extremos da época: DWT com ranhuras de polia de assento redondo e SWT com ranhuras em V. No entanto, a era do SWT para aplicações sem engrenagens só ocorreria quase um século depois. Portanto, o comentário sugere que as primeiras máquinas de tração sem engrenagens eram DWT e as ranhuras tinham assento redondo. O problema do deslizamento da corda em ranhuras de assento redondo era minimizado pela maior tração disponível proporcionada pelo grande ângulo de envolvimento.θ, resultante do laço de volta dupla.

A teoria legada, postulada pela equação de Euler-Eytelwein, mostrou-se insuficiente para estabelecer a tração disponível entre uma ranhura de polia com contorno radial e um perfil de corda essencialmente circular (Figura 6).

Fica claro nos primeiros trabalhos de Hymans que o coeficiente de atrito efetivo que entra em jogo na aplicação da equação de Euler-Eytelwein na interface corda-ranhura tinha que ser variável, dependendo da geometria de contato entre as superfícies da corda e da ranhura.[13-19] Essa hipótese preparou o terreno para sua análise matemática das forças geradas na interface da corda e da ranhura, resultando em diferentes graus de tração disponível, dependendo do formato da ranhura. No final do verão/início do outono de 1920, Hymans empreendeu sua análise matemática preliminar do esforço de tração da corda na região de contato corda-ranhura.

A tecnologia de reprodução era primitiva em 1920, em comparação com os anos posteriores. Além dos manuscritos originais da obra de Fred Hymans, a única opção restante para obter cópias era fazer plantas dos documentos. Os originais de sua Teoria da Tração por Corda não estão mais disponíveis, mas cópias em planta, abrangendo a coleção de artigos, sobreviveram como plantas, conforme mostrado na Figura 7.

Para desenvolver o modelo matemático necessário para encontrar o fator de forma da ranhura, Hymans postulou:

• A ranhura da polia é inteiramente rígida e indeformável.
• O desgaste do sulco ocorre verticalmente.
• O cabo de içamento é um cilindro perfeitamente liso.
• A seção transversal da corda permanece circular mesmo quando cargas são aplicadas sobre ela.
• Os efeitos centrífugos da corda são insignificantes.
• Devido às polias de grande diâmetro, a resistência à flexão da corda é insignificante.
• O período inicial de adaptação não é considerado.

Os primeiros manuscritos de Hymans sobre a teoria da tração por corda foram escritos exclusivamente por ele em 1920. Esses documentos continham seus tratados fundamentais sobre diversos assuntos, como segue:

• A força radial por unidade de comprimento da corda
• A magnitude das pressões na ranhura
• Reação do sulco por polegada de aro
• O coeficiente de atrito aparente
• Tração
• Tração de Envoltório Único
• Rastejar

Hymans postulou que o aumento mais significativo na tração pode ser alcançado alterando o formato da ranhura usando a ranhura rebaixada, que aumenta o coeficiente de atrito aparente. Ele derivou a relação matemática que quantificaria as pressões na ranhura em qualquer ponto de contato entre a corda e a ranhura, de acordo com a seguinte relação sinusoidal:                                                                                                  

A equação (8) utiliza as variáveis ​​mostradas nas Figuras 8, 9 e 15. A força radial, Pr, causa uma distribuição de pressão sobre o limite inferior do perfil da corda, mantendo-a em estado de equilíbrio vertical. Ela é fisicamente distribuída sobre as regiões de contato corda-ranhura. Essas distribuições de pressão são mostradas graficamente em escala relativa nas Figuras 8 e 9 para as configurações de ranhuras de assento redondo e ranhuras rebaixadas, respectivamente. Para fins de comparação, duas ranhuras são mostradas. Na Figura 8, é mostrada uma ranhura de assento circular onde a pressão diminui de seu máximo, pmax, próximo à base do contato do perfil da corda com a ranhura, até seu mínimo, pmin = 0, no topo da ranhura. O modelo matemático é para uma ranhura ligeiramente desgastada, de modo que a região de contato da corda dentro da ranhura é mostrada para o caso em que γ = 180° = π.

A distribuição da pressão na ranhura com rebaixo ligeiramente desgastado é mostrada na Figura 9, onde as pressões normalmente produzidas no fundo da ranhura da sede redonda não estão mais presentes devido ao rebaixo. Portanto, como a soma vertical dos vetores de pressão deve estar em equilíbrio com a força radial por unidade de comprimento do cabo, os vetores de pressão devem ser exercidos sobre uma região menor de contato da ranhura, induzindo assim pressões na ranhura maiores do que as encontradas na ranhura da sede redonda. As pressões máximas na ranhura ocorrerão nas duas extremidades do rebaixo. Sob a mesma carga, Pr, a pressão máxima nas extremidades do rebaixo aumenta. A Tabela 2 mostra a comparação das pressões máximas do cabo na ranhura para cada ranhura em função da pressão máxima induzida em uma ranhura da sede redonda sob a mesma carga, Pr. Ranhuras com rebaixo comuns usadas na indústria são mostradas.

Hymans mostrou que a tração disponível poderia ser aumentada aumentando o ângulo de rebaixo no fundo da ranhura.[1 & 14-17] Há um limite para o ângulo máximo de rebaixo, uma vez que quanto maior o rebaixo, menor o suporte vertical que a corda recebe da ranhura e, portanto, menor a carga que podemos colocar nas cordas sem causar desgaste rápido da polia e falha rápida da corda.

Por essa razão, a carga admissível por cabo diminui com o aumento correspondente do ângulo de rebaixo.

Vários anos após desenvolver a teoria matemática da tração por corda para sistemas de elevadores de tração, Hymans e Axel V. Hellborn foram coautores de Der Neuzeitliche Aufzug mit Treibscheibenantrieb, no qual a teoria da tração por corda desenvolvida por Hymans foi explicada com mais detalhes analíticos, e várias outras análises e ilustrações foram adicionadas. Também é notável que a teoria do amortecedor de óleo, documentada pela primeira vez no artigo de Hymans de 1926 para a ASME[23], foi publicada neste livro.

Este livro é a bíblia para a teoria e a prática da tração por cabos e do projeto de amortecedores hidráulicos na indústria mundial de elevadores. A relação entre esses dois engenheiros era a sua afiliação à Otis, embora em lados opostos do Oceano Atlântico. Hymans era engenheiro de pesquisa no escritório do engenheiro-chefe da sede da Otis em Nova York; Hellborn constava como gerente de engenharia da Otis em Nova York. A atribuição geográfica adicional a Hellborn na página de título menciona Estocolmo, que era uma das principais cidades europeias onde a Otis tinha uma forte presença comercial. No entanto, a cidade não teria um escritório de engenharia, já que todos os produtos da Otis projetados para implantação internacional eram desenvolvidos em Nova York. Como David L. Lindquist era o engenheiro-chefe da Otis e Hymans se reportava diretamente a ele, só se pode concluir que Hymans e Hellborn eram colegas contemporâneos com interesses acadêmicos em comum no tema de tração por cabos, amortecedores, etc., mas o papel de Hellborn dentro da Otis parece menos relevante do que os de Lindquist e Hymans.

De acordo com Hymans e Hellborn, o coeficiente de atrito aparente é definido pelo fator de forma da ranhura da corda, G, e pelo coeficiente de atrito estático real, µ.

A tradução para o inglês do Sumário do livro "Hymans' and Hellborn" é a seguinte:

“I. Características do elevador com acionamento por tração:

     A. O arranjo mecânico

     B. Compensação do peso da corda de suspensão

     C. A segurança operacional

 “II. A teoria da transmissão de carga por atrito em cordas, sua natureza e suas características:

     A. Distribuição de tensão na corda acima da polia de tração

     B. O deslizamento da corda (variação de comprimento devido à natureza elástica da corda sob tensão)

     C. A diferença de tensão nas cordas de suspensão

     D. Influências estáticas e dinâmicas na relação de tensão          

     E. A pressão superficial entre a corda e a ranhura

     F. O fator de atrito entre a corda e a ranhura

     G. A avaliação dos resultados teóricos

 “III. A teoria dos dispositivos de buffer:

     A. Cálculo do amortecedor de mola

     B. Cálculo do tampão de óleo

 “IV. Práticas recomendadas em tipificação e padronização:

     A. A importância essencial da amplitude de desempenho

     B. A montagem em série de máquinas e motores

     C. Exemplos de padronização”[20]

Hymans postulou que, onde há conformidade radial entre o contorno da superfície dos cabos de aço e as ranhuras das polias de suporte, o coeficiente de atrito aparente, fa, seria maior que o coeficiente de atrito base, µ, devido à composição do material e à geometria dos corpos em contato. Hymans postulou que existia uma relação matemática que governava o valor numérico do coeficiente de atrito aparente. Essa relação eleva a equação de Euler-Eytelwein a um novo nível de precisão analítica, introduzindo um fator de forma cabo-ranhura, G, que incorpora a geometria do contato cabo-ranhura e a distribuição de pressão sinusoidal desenvolvida entre o cabo e a ranhura.

Começando pela dedução da força radial por unidade de comprimento das cordas, Hymans matematizou a distribuição da pressão na ranhura. resultante da pressão exercida pelo cabo de içamento contra a superfície de contato da ranhura (ver Figuras 11 e 12). A partir disso, ele conseguiu derivar a magnitude das pressões na ranhura. No livro , esta ilustração do sulco é apresentada na Figura 35, p. 57. Nos manuscritos originais, o ângulo que subtende o rebaixo era indicado como a. Posteriormente, a foi redesignado como a tração disponível, e o ângulo do rebaixo passou a ser representado pelo símbolo β.

A partir das pressões na ranhura, Hymans determinou a reação na ranhura por unidade de comprimento da borda da polia. a partir da qual ele analisou a distribuição de pressão radial sobre as regiões de contato entre a corda e a ranhura, levando em consideração as regiões de descontinuidade onde poderia haver um rebaixo na ranhura.[16] Após determinar a força resultante que atua radialmente do centro da corda até a região de contato na ranhura, Hymans desenvolveu uma função trigonométrica para o fator de forma corda-ranhura, G, que, quando multiplicada pelo coeficiente de atrito real, resultou em um coeficiente de atrito aparente. É expresso como:                                                                                              

onde o fator de forma da ranhura da corda foi determinado como:

A equação geral para o coeficiente de atrito aparente de cabos de aço operando em ranhuras de polias de ferro fundido foi derivada por Hymans na seguinte forma geral, baseada na substituição da Equação (10) na Equação (9), resultando em:                                                                                             

A equação (11) tem a mesma forma daquela mencionada anteriormente por Hymans e Hellborn. O Comitê de Projeto Mecânico da ASME A17, originalmente conhecido como Comitê de Dispositivos de Segurança Mecânica e Projeto de Máquinas da A17, discutiu a matemática da tração nos primórdios da A17 e optou por não incluir equações de aplicação para tração por cabo na seção de projeto da A17, preferindo deixá-las como propriedade intelectual dos projetistas e fabricantes. (A filosofia da A17 de não defender o uso da A17 como um livro didático de projeto ainda prevalece.) Décadas depois, os europeus optaram por incluir uma Seção M do Apêndice da EN 81. onde as equações de Hymans e Hellborn seriam listadas como informativas. No entanto, os autores do código EN 81 mostraram a equação de Hymans para o fator de forma da ranhura usando os ângulos complementares. Os manuscritos de Hymans mostram o coeficiente aparente, Equação (5) de Hymans, na forma dada pela Equação (11) deste artigo.

As folhas manuscritas de Hymans de 1920 para a derivação da fábrica de formato de ranhura de corda são mostradas nas Figuras 16 e 17 para fins de contexto histórico e precisão.

Hymans estabeleceu a carga admissível por cabo com base em suas análises teóricas, juntamente com dados de testes. Um exemplo pode ser visto na Figura 18. Seu estilo de escrita rivalizava com o de uma máquina de escrever! Com base nisso, a reformulação da equação de Euler-Eytelwein por Hymans, aplicável a acionamentos de elevadores de tração, é dada como:

                                                                                              

O autor detalha as deduções matemáticas de Hymans na apresentação em DVD. A ranhura da polia de acionamento ilustrada na norma de segurança EN81-S0, cláusula 5.11.2.3.1.1, é mostrada na Figura 19.

Com base na descrição dos ângulos na norma EN 81-1,[21] o coeficiente de atrito aparente correspondente, baseado na teoria de Hymans, foi dado como:                                                                                              

A comprovação da equivalência dos fatores de forma do sulco entre a equação de Hymans usada nos EUA e a usada na norma EN 81-1 é encontrada substituindo a seguinte relação na Equação 11:

Referências
[1] Gibson, GW “Tração por Corda: Teoria e Prática”, seminário, formato DVD, Elevator World, Inc. (2009).
[2] Patente alemã nº 218 (1 de agosto de 1877), Berlim.
[3] Patente US nº 206,251, “Elevadores”, Friedrich Koepe, Bochum, Prússia (23 de julho de 1878).
[4] Anuário de Engenheiros de Kempe, p. K3/46, Koepe Winders (1988).
[5] Gray, Lee. “O elevador de tração: Parte Um, Origens 1877-1891”, ELEVATOR WORLD, agosto de 2004, p. 156-159.
[6] Lindquist, David L. “Esboço do desenvolvimento de elevadores”, setembro de 1937, apresentado à Seção de Transporte da ASME (outono de 1938).
[7] Klaw, Spencer. “All Safe, Gentlemen, All Safe,” American Heritage, agosto/setembro de 1978, Vol. 29, Edição 5, p. 43.
[8] Gray, Lee. “O elevador de tração: Parte Dois, As primeiras máquinas elétricas 1891-1899”, EW, setembro de 2004, p. 129-133.
[9] Patente US nº 595,874, “Elevador Elétrico”, Augustus L. Duwelius (21 de dezembro de 1897).
[10] Hymans, F. Elevadores Elétricos, Livro I, International Textbook Co., p. 25-27 (1931 e 1941).
[11] Hymans, F. Elevadores Elétricos, Livros I e II, republicado por Elevator World 1992.
[12] “Otis Desenvolve Design Sem Engrenagens”, “Boletim Otis, Edição Especial do 125º Aniversário”, p. 3 (20 de setembro de 1978).
[13] Hymans, F. “A força radial por unidade de comprimento da corda” (agosto de 1920).
[14] Hymans, F. “A magnitude das pressões do sulco” (agosto de 1920).
[15] Hymans, F. “A reação do sulco por polegada de aro” (agosto de 1920).
[16] Hymans, F. “O coeficiente de atrito aparente” (agosto de 1920).
[17] Hymans, F. “Tração” (10 de setembro de 1920).
[18] Hymans, F. “Tração de Envoltório Único” (1920).
[19] Hymans, F. “The Creep” (1920).
[20] Hymans, F. & Hellborn, AV “Der Neuzeitliche Aufzug mit Treibscheibenantrieb” (traduzido como “Elevadores modernos com
Polias de transmissão por fricção”), Verlag von Julius Springer, Berlim (1927).
[21] EN 81-1: 1998 Regras de segurança para a construção e instalação de elevadores – Parte 1: Elevadores elétricos, Apêndice M.
[22] EN 81-50: 2014 Regras de segurança para a construção e instalação de elevadores – Exames e testes – Parte 50: Regras de projeto, cálculos, exames e testes de componentes de elevadores.
[23] Hymans, F. “As paradas de emergência do elevador de tração sem engrenagens nos patamares terminais”, ASME, Nova Iorque, Nova Iorque (6 de dezembro de 1926).