Aitken İnterpolasyonuna Dayalı Asansör Denge Katsayının Hesaplanması

Huang Shaolun, Luo Zhiqun, Dai Qingyou ve Wan Jianru tarafından

Denge katsayısı, çekişli asansörlerin tasarımı, uygulanması ve muayenesi için önemli bir parametredir. Geleneksel olarak, her ikisi de sayısal sonuçlarında kaçınılmaz olarak yanlışlıklara neden olan "Yük - Akım" inceleme veri eğrileri çizim veya çokgen yöntemiyle çizilerek gösterilir. Bu sorunu çözmek için, bu makale Aitken'in enterpolasyonu yaklaşımında yüksek doğrulukta bir yöntem geliştirmektedir. Ayrıca gereksiz depolama alanını azaltmak için interpolasyon sürecindeki sıkıştırma depolama tekniği detaylı olarak analiz edilmiştir. Son olarak, yöntemin MATLAB GUI platformunda başarılı bir şekilde doğrulanması ve farklı yöntemlerle yapılan karşılaştırmalar, doğruluk ve güvenilirlik açısından etkin bir şekilde çalıştığını göstermektedir.

Giriş

Denge katsayısı, özellikle asansör tasarımında, çekişli asansörler için çok önemli bir parametredir. 0.40-0.50 arasındaki uygun denge katsayısı aralığı, bir asansör kabininin (yüklü veya yüksüz) ağırlığını ve karşı ağırlığını dengelemek için daha etkilidir. Uygun bir denge katsayısı, asansörü daha konforlu, daha güvenli ve daha az enerji tüketen hale getirebilir. Bir cer asansörünün muayenesinde, bu önemli parametre, yukarı ve aşağı doğru seyir yük-akım verileri çizilerek grafik haline getirilerek hesaplanır. Ancak pratikte subjektiflik nedeniyle her zaman düşük hata ile sonucu garanti etmek zordur. Çokgen yöntemi bu sorunla başa çıkmanın başka bir yoludur, ancak doğruluğu tatmin edici olmaktan uzaktır.

Zhou[1] ikinci dereceden bir regresyon eğrisi çözümü sundu, ancak eğri tüm inceleme veri noktalarından geçmediği için kötü performans gösteriyor. Sonuç olarak, denge katsayısının hatası artar. Chang[2], Newton'un enterpolasyonuyla başka bir yöntem sundu. Ancak, yüksek dereceli polinom interpolasyonunda eğri bozulmasına neden olabilecek “Runge fenomeni”ni dikkate almaz. Bu nedenle, her durumda doğru ve güvenilir bir sonuç elde etmek zordur.

Aitken'in İnterpolasyonuna Dayalı Denetim Veri Eğrisi Çözümü

Çin'in 7001 Nisan 2009 tarihinde uygulamaya koyduğu Asansör Kontrollü Muayene ve Periyodik Muayene – Çekiş ve Pozitif Çekiş Kaldırma (TSG T1-2010) Yönetmeliğine göre denge katsayısı muayenesi değişmiştir. Denge katsayısının 0.40-0.50 aralığında tasarlanması veya belirli gereksinimleri karşılaması önerilir. Kabin, nominal yükünün %0, %25, %40, %50, %75, %100 ve %110'unu ayrı ayrı taşıdığı için, kabin karşı ağırlık ile aynı seviyede çalışırken ilgili motor akımı kaydedilmelidir. Ardından, yük akımı yukarı ve aşağı açma denetim veri eğrileri çizilebilir. Denge katsayısı değerinin hesaplanması için benzersiz bir kesişme noktalarına sahiptirler.

Her biri yedi çift veriden oluşan iki denetim verisi seti (yukarı ve aşağı yolculuk) vardır. Denge katsayısı doğruluğunda hesaplamayı geliştirmenin güvenilir bir yolu, eğriler oluştururken bilimsel bir yaklaşım aramaktır. Bu nedenle, bu sorunu çözmek için Aitken'in enterpolasyonunun yeni bir yöntemi tanıtıldı.

Aitken'in İnterpolasyon Şeması

Aitken interpolasyon problemi genellikle şu şekilde ifade edilir: n'den yüksek olmayan bir dereceden L(x) = Ln(x) polinomunu bulun; bu polinomun xi (i = 0, 1, 2, ..., n) noktalarındaki değerleri, verilen fonksiyonun değerleriyle çakışır; yani, L(xi) = yi, burada xi yüzde yükü ve yi motor akımını temsil eder. Geometrik olarak bu, Ln(x) = y = a0xn + a1xn ​​- 1 + ... + a şeklinde bir cebirsel eğri bulmak anlamına gelir._n verilen enterpolasyon noktaları kümesinden geçen M_i (xi, yi) (i = 0, 1, . . . ., n).

xi ve xi'den yararlanma _{+ 1} enterpolasyon noktaları olarak, burada lineer enterpolasyon polinomu Li'yi verebiliriz, _{ben + 1}(x) iki başlangıç ​​noktası ile: 

Ayrıca, Li, i + 1(x) ve Li + 1, i + 2(x)'i iki yeni enterpolasyon noktası olarak ele alarak, ikinci dereceden enterpolasyon polinomunu elde edebiliriz, yani xi, xi + 1 ve xi noktalarını kullanarak + 2:

Bu nedenle, genel bir polinom formu L0, 1, . . ., tüm n + 0 enterpolasyon noktalarının dahil olduğu enterpolasyon noktalarından (x0, y1) (xn, yn) geçen n derecesinin n(x) özyinelemeli formülü olarak gösterilebilir:

Bu, Aitken'in enterpolasyonunun matematiksel şemasıdır. Formül 3 (özyinelemeli formül), her polinomun bir derece daha düşük tam olarak iki polinomdan türetilmesine izin verir, bu da art arda hesaplamanın faydalı olduğu anlamına gelir. Bu özyinelemeli formül, Aitken'in enterpolasyonunun kalıtım üzerinde Newton'un enterpolasyonu kadar verimli olduğunu gösterir.

İnterpolasyon İşlemi için Depolama Sıkıştırması

Hesaplama işlemlerini basitleştirmek için yukarıdaki bulgular genellikle tablo halinde verilir. L...(x)'i hesaplamak için Şekil 1'deki enterpolasyon polinomlarının düzenini kullanmak uygundur. Ana köşegen üzerinde altı çizili olan, n. adımda n. polinomun sonucudur.

Aitken'in enterpolasyon tablosunda, her adımdaki polinomlar, her zaman iki boyutlu bir dizi olarak bellekte depolanan bir alt üçgen matrisi olarak oluşturulur. Ancak, bu matristeki bir elemanı hesaplarken, sadece iki elemanla ilgili olduğunu bilmek önemlidir - biri sol üst köşede, diğeri sol tarafta bulunur. Diğer bir deyişle, çapraz bir çizgide kalanlar dışında tüm öğeler tek kullanımlıktır. Bu nedenle, Aitken'in hesaplaması sırasında depolama sıkıştırması için teknolojik olarak tek boyutlu dizi kullanılması tavsiye edilir. Beceri, kırmızı alanlarla işaretlenmiş öğelerin her adımda güncellendiği Şekil 2'de gösterilmektedir.

Hesaplamada depolama sıkıştırmasının adımları şunlardır:

1. Adım sayacı I = 1'i başlatın. L matrisindeki ilk satırı hesaplayın, ardından sonuçları tek boyutlu bir y_temp dizisinde saklayın.
2. y_temp dizisindeki i. ve j. (j = i + 1, ..., n) elemanlar kullanılarak, Formül 1 ile enterpolasyon yapılır ve bu enterpolasyon sonucunda j. elemanın konumu kapsanır. Örneğin, i = 1 olduğunda, amaçlanan polinom L012(x) için L01(x) ve L12(x) ile enterpolasyon yapılır ve bu sonuç y_temp dizisinin 2. elemanında güncellenir (burada j = i + 1 = 2). Ardından, bu adımda kalan elemanlar L123(x) ... Ln - 2, n - 1, n(x) hesaplanır ve sırasıyla güncellenir.
3. i = i + 1'i güncelleyin ve son polinom L2, 0,'e ulaşana kadar 1. adımı tekrarlayın. . . , n(x).

Aitken'in İnterpolasyonuna Dayalı Asansör Veri Eğrileri

TSG T7001-2009'un yeni gereksinimine göre, yük-akım veri noktalarında yukarı veya aşağı açma eğrisi sıkı bir şekilde denetlenir. Bu noktalar aynı zamanda Aitken enterpolasyon noktalarıdır. Bu yedi nokta çiftini doğrudan enterpolasyon yapmak için kullanırsanız, bir sorun ortaya çıkabilir: çözümde yüksek dereceli (altıncı dereceye kadar) enterpolasyon polinomlarından kaçınmak zor olabilir. Bazı durumlarda, “Runge fenomeni” görünecektir. İstenmeyen bir salınım, hesaplama hatasını artıracak ve hesaplama kararsızlıklarını etkileyecektir. Ne Aitken'in ne de Newton'un enterpolasyonu bir istisna değildir.

Gerçek incelemeyi dikkatlice dikkate alarak, segmentasyonda Aitken'in üç veri grubu için interpolasyonuna karşılık gelen üç eğriyi uygulamak akıllıca olacaktır: x0, x1, x2; x2, x3, x4; ve x4, x5, x7. Bu teknik iyileştirme, yalnızca son enterpolasyonlu eğrilerin Runge fenomenini yaşamasını engellemekle kalmaz, aynı zamanda en yüksek polinom sırası yalnızca x2 olduğundan tüm eğriyi düzleştirir.

Yazılım Tasarımı

Önerilen yöntemin etkinliğini doğrulamak için MATLAB GUI programlanmak üzere tanıtıldı ve “Aitken'in depolama sıkıştırması ile enterpolasyonu”, “denge katsayısı hesaplaması” gibi birçok önemli işlev tasarlandı. Yazılım akışı, Şekil 3'te gösterilmiştir.

Aitken'in Depolama Sıkıştırma ile İnterpolasyonu

Bu işlev, Aitken'in depolama sıkıştırma uygulamasıyla enterpolasyonunun ana gövdesidir. Bir işlev çağrısından sonra, interpolasyon polinomunun f ifadesini ve ayrıca x interpolasyon noktasında karşılık gelen polinom katsayıları a ve y0 işlev değerini (girdiyse) döndürür.₀.

fonksiyon [f, a, y₀] = interpolasyon_aitken (x, y, x₀)

sembol t; semboller n;

. . ., . . .

y_temp (1:n) = t;

for(i = 1:n - 1)

için(j = ben + 1:n)

y_temp(j) = y(j)*(t - x(i))/(x(j) - x(i)) + y(i)*(t - x(j))/(x(i) -
x(j)); son;

y = y_temp;

sadeleştir(y_temp); son;

sadeleştir(y_temp(n));

f = topla(y_temp(n));

f = vpa(f, 5);

if(nargin==3)

y₀ = subs(y_temp(n),'t',x₀);

faktörler = sym2poly(f); Başka;

faktörler(1:n) = y_temp(1:n);

faktörler = sym2poly(f); son

Aitken'in İnterpolasyon Fonksiyonu

“Aitken'in İnterpolasyonuna Dayalı Asansör Veri Eğrileri”ndeki analize göre, enterpolasyonu yürütmek için tüm denetim veri noktaları x(1:3),x(3:5) ve x(5:7) olmak üzere üç gruba ayrılmalıdır. bağımsız:

[f_up1, a_up1]=interpolation_aitken(x(1:3), y1(1:3));

[f_up2, a_up2]=interpolation_aitken(x(3:5), y1(3:5));

[f_up3, a_up3]=interpolation_aitken(x(5:7), y1(5:7));

[f_dowm1, a_dowm1]=interpolation_aitken(x(1:3), y2(1:3));

[f_dowm2, a_dowm2]=interpolation_aitken(x(3:5), y2(3:5));

[f_dowm3, a_dowm3]=interpolation_aitken(x(5:7), y2(5:7));

Denge Katsayısı Hesaplama Fonksiyonu

Denge katsayısı, yukarı ve aşağı yolculuk veri eğrilerinin kesişme noktasıdır. “Denge katsayısı” olarak adlandırılan bu iki polinom arasındaki fark cebirsel olarak bulunarak ve yatay eksen ile kesişimi aranarak hesaplanabilir.

flag_solve = 0;

a_delta1 = a_up1 - a_dowm1; r1 = poly2sym(a_delta1);

. . . . . .

if(subs(r2, 'x', 40)*subs(r2, 'x', 75) < 0)

x₀ = fsıfır(r2, [40 75]);

     flag_solve = '2';

elseif(subs(r3, 'x', 75)*subs(r3, 'x', 110) < 0)

     x₀ = fsıfır(r3, [75 110]);

     flag_solve = '3';

elseif(subs(r1, 'x', 0)*subs(r1, 'x', 40)<0)

     x₀ = fsıfır(r1, [0 40]);

     flag_solve = '1'; Başka;

     flag_solve = 'çözülmemiş'; son;

if(flag_solve~='çözülmedi')

     if(flag_solve=='1')

     [geçici1, geçici2, y₀] = interpolasyon_aitken(x(3:5), y1(1:3), x₀); son;

     if(flag_solve=='2')

[geçici1, geçici2, y₀] = interpolasyon_aitken(x(3:5), y1(3:5), x₀); son;

     if(flag_solve=='3')

[geçici1, geçici2, y₀] = interpolasyon_aitken(x(3:5), y1(5:7), x₀); son;

. . . . . .

son

Uygulama

yazılım Arayüz

Bu yöntemin uygulanabilirliğini doğrulamak için MATLAB GUI tabanlı bir yazılım geliştirildi. Arayüzü Şekil 4'te gösterilmiştir. "Yüzde Yük - Motor Akımı" kontrol verileri güncellendikten sonra, denge katsayısını ve hem yukarı hem de aşağı yönlü tetikleme verisi eğrilerinin ifadesini çıktı olarak verecektir.

karşılaştırma

Asansör denge katsayısında uygulanan Aitken interpolasyonunun avantajını doğrulamak için aynı veri seti ile karşılaştırmalar yapılmıştır. Muayene veri eğrilerinin grafikleri Şekil 5'te gösterilmektedir.

Şekil 5(a)'ya bakarak, eğrinin hiç de parlak olmadığını kolayca görebiliriz. Şekil 5(b)'ye bakarak diğer hayal kırıklığını bulabiliriz – eğri terminalindeki Runge fenomeni. Bu, önceki analizde de görülmektedir. Bu iki sorun, gerçek denge katsayısı 0.4 ila 0.5 aralığından saptığında daha da kötüleşecek ve denetim sonuçlarının doğruluğunu ve güvenilirliğini azaltacaktır.

Şekil 5(c)'de gösterildiği gibi, Aitken'in enterpolasyon yönteminde oluşturulan inceleme verisi eğrileri sadece yeterince parlak olmakla kalmaz, aynı zamanda Runge fenomeninden de yoksundur. Daha iyi çözüm doğruluğu sağlar.

ÖZET

Denge katsayısı, çekişli asansör tasarımı, uygulaması ve denetimi için önemli bir parametredir. Bu makale, Aitken'in interpolasyonunu uygulayan ve yüksek doğruluk ve güvenilirlik ile sonuçlanan denetim veri eğrilerini çizmek için yeni bir yaklaşım sunmaktadır. Hesaplamada depolama sıkıştırması da tartışıldı. Yöntem, MATLAB GUI programlama ile başarılı bir şekilde gerçekleştirildi ve eğrilerin farklı yöntemlerle karşılaştırılması, hem doğruluk hem de güvenilirlik açısından etkin bir şekilde çalıştığını gösterdi. Bu yazılım, müfettişler için uygundu ve iş verimliliğini artırdı.

onay

Bu araştırma, Genel Kalite Denetimi Denetimi ve Çin Karantinası – Kâr Amacı Gütmeyen Sektörde Uzmanlaşmış Araştırma Finansman Projeleri (proje numarası 201310153) tarafından desteklenmektedir.

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Referanslar
[1] Runjia Zhou, “Asansör Denge Katsayısı Üzerine Regresyon Analizi”, İnşaat Mekanizasyonu, 1989, s. 6.
[2] Zhenyuan Chang, “Yazılımla Asansör Denge Katsayının Hesaplanması,” China Elevator, 2012, s. 47-49.
[3] Cleve B. Moler, “MATLAB ile Sayısal Hesaplama”, Society for Industrial & Applied Mathematics, ABD
[4] D. Kahaner, C. Moler ve S. Nash, “Sayısal Yöntemler ve Yazılım”, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1989.