حساب معامل توازن المصعد بناءً على استيفاء Aitken

بواسطة Huang Shaolun و Luo Zhiqun و Dai Qingyou و Wan Jianru

معامل التوازن هو معلمة مهمة لتصميم وتنفيذ وفحص مصاعد الجر. يتم توضيحه بشكل تقليدي من خلال رسم منحنيات بيانات فحص "الحمل - الحالي" في رسم تخطيطي أو طريقة المضلع ، وكلاهما يتسبب حتماً في عدم دقة نتائجهما العددية. لحل هذه المشكلة ، تزدهر هذه المقالة طريقة بدقة عالية في نهج الاستيفاء في Aitken. بالإضافة إلى ذلك ، لتقليل مساحة التخزين غير الضرورية ، يتم تحليل تقنية تخزين الضغط في عملية الاستيفاء بالتفصيل. أخيرًا ، تم التحقق من الطريقة بنجاح على منصة MATLAB GUI ، وتظهر المقارنات مع الطرق المختلفة أنها تؤدي بشكل فعال من حيث الدقة والموثوقية.

المقدمة

معامل التوازن هو عامل حاسم لمصاعد الجر ، خاصة في تصميم المصاعد. النطاق المناسب لمعامل التوازن من 0.40-0.50 هو أكثر فاعلية لموازنة وزن عربة المصعد (سواء كانت محملة أو غير محملة) وثقل موازنة لها. يمكن لمعامل التوازن المناسب أن يجعل المصعد أكثر راحة وأمانًا وأقل استهلاكًا للطاقة. في فحص مصعد الجر ، يتم حساب هذه المعلمة المهمة عن طريق رسم بيانات رحلة صعودًا وهبوطًا في حمل الحمل الحالي عن طريق الرسوم البيانية. ومع ذلك ، من الناحية العملية ، من الصعب دائمًا ضمان النتيجة بخطأ منخفض ، بسبب الذاتية. طريقة المضلع هي طريقة أخرى للتعامل مع هذه المشكلة ، ولكن دقتها بعيدة كل البعد عن أن تكون مرضية.

قدم Zhou [1] حلاً منحنى الانحدار التربيعي ، لكنه أداؤه ضعيف ، لأن المنحنى لا يمر عبر جميع نقاط بيانات الاستقصاء. وبالتالي ، يزداد خطأ معامل التوازن. قدم تشانغ [2] طريقة أخرى لاستيفاء نيوتن. ومع ذلك ، فإنه لا يأخذ في الاعتبار "ظاهرة Runge" ، والتي قد تسبب تشوه المنحنى في الاستيفاء متعدد الحدود عالي الترتيب. لذلك ، من الصعب الحفاظ على نتيجة دقيقة وموثوقة في أي حال.

حل منحنى بيانات الفحص استنادًا إلى استيفاء Aitken

وفقًا للائحة التفتيش الإشرافي للرفع والفحص الدوري - تم تطبيق السحب والمحرك الإيجابي (TSG T7001-2009) في الصين في 1 أبريل 2010 ، فقد تغير فحص معامل التوازن. يُقترح تصميم معامل التوازن في النطاق من 0.40 إلى 0.50 أو لتلبية المتطلبات الخاصة. نظرًا لأن السيارة تحمل 0٪ ، 25٪ ، 40٪ ، 50٪ ، 75٪ ، 100٪ و 110٪ من حملها المقنن بشكل منفصل ، يجب تسجيل تيار المحرك ذي الصلة عندما تعمل السيارة بنفس مستوى ثقل الموازنة. بعد ذلك ، يمكن رسم منحنيات بيانات فحص الرحلة لأعلى ولأسفل. لديهم نقطة تقاطع فريدة لحساب قيمة معامل التوازن.

هناك مجموعتان (رحلة صعودًا وهبوطًا) من بيانات الفحص ، تتكون كل منهما من سبعة أزواج من البيانات. تتمثل إحدى الطرق الموثوقة لتحسين الحساب في دقة معامل التوازن في البحث عن نهج علمي في إنشاء المنحنيات. ومن ثم ، تم تقديم طريقة جديدة لاستيفاء Aitken لحل هذه المشكلة.

مخطط الاستيفاء في Aitken

تُصاغ مسألة استيفاء أيتكن عادةً بالشكل التالي: إيجاد متعددة الحدود L(x) = Ln(x) من درجة لا تزيد عن n، بحيث تتطابق قيمها عند النقاط xi (حيث i = 0، 1، 2، ...، n) مع قيم الدالة المعطاة؛ أي L(xi) = yi، حيث xi تمثل نسبة الحمل وyi تمثل تيار المحرك. هندسيًا، يعني هذا إيجاد منحنى جبري على الصورة Ln(x) = y = a₀xₙ + a₁xₙ - 1 + ... + aₙ_n التي تمر عبر مجموعة معينة من نقاط الاستيفاء M_i (xi، yi) (i = 0، 1،..، n).

الاستفادة من xi و xi _{+ 1} كنقاط استيفاء ، هنا ، يمكننا أن نحصل على كثير حدود الاستيفاء الخطي Li ، _{أنا + 1}(خ) بنقطتين أوليتين: 

علاوة على ذلك ، مع الأخذ في الاعتبار Li و i + 1 (x) و Li + 1 و i + 2 (x) كنقطتي استيفاء جديدتين ، يمكننا الحصول على كثير حدود الاستيفاء التربيعي ، وهو استخدام النقطة xi و xi + 1 و xi + 2:

لذلك ، صيغة متعددة الحدود العامة L0 ، 1 ،. . . ، n (x) من الدرجة n التي تمر من نقاط الاستيفاء (x0 ، y0) إلى (xn ، yn) ، مع كل نقاط الاستيفاء n + 1 المعنية ، يمكن إظهارها كصيغة تكرارية:

هذا هو المخطط الرياضي لاستيفاء أيتكين. تسمح الصيغة 3 (الصيغة العودية) للشخص باشتقاق كل كثير حدود من عديدي حدود بالضبط من درجة أقل بمقدار واحد ، مما يعني أنه من المفيد حساب التتابع. تشير هذه الصيغة العودية إلى أن الاستيفاء الخاص بـ Aitken فعال مثل استيفاء نيوتن في الميراث.

ضغط التخزين لعملية الاستيفاء

لتبسيط العمليات الحسابية، تُعرض النتائج المذكورة أعلاه عادةً في جداول. لحساب L...(x)، يُفضّل استخدام ترتيب كثيرات الحدود الاستيفائية الموضح في الشكل 1. تمثل كثيرة الحدود الموجودة على القطر الرئيسي والمُسطّرة نتيجة كثيرة الحدود رقم n في الخطوة رقم n.

في جدول الاستيفاء في Aitken ، يتم إنشاء كثيرات الحدود في كل خطوة كمصفوفة مثلث منخفضة ، والتي يتم تخزينها دائمًا في الذاكرة كمصفوفة ثنائية الأبعاد. ومع ذلك ، من المهم أن تدرك أنه عند حساب عنصر في هذه المصفوفة ، فإنه يرتبط فقط بعنصرين - أحدهما يقع في الزاوية اليسرى العليا والآخر على الجانب الأيسر. بمعنى آخر ، يمكن التخلص من جميع العناصر ، باستثناء العناصر التي تظل في خط قطري. لذلك ، يُنصح باستخدام مصفوفة ذات بُعد واحد تقنيًا لضغط التخزين في سياق حساب Aitken. تظهر المهارة في الشكل 2 ، حيث يتم تحديث العناصر المميزة في الحقول الحمراء في كل خطوة.

خطوات ضغط التخزين في الحساب هي:

1. ابدأ عداد الخطوة I = 1. احسب الصف الأول في المصفوفة L ، ثم قم بتخزين النتائج في مصفوفة y_temp ذات بعد واحد.
2. باستخدام العنصرين i و j (حيث j = i + 1، ...، n) في المصفوفة y_temp، يتم إجراء الاستيفاء باستخدام الصيغة 1 لحساب نتيجة جديدة، تغطي بدورها موقع العنصر j. على سبيل المثال، عندما i = 1، يتم الاستيفاء باستخدام L01(x) و L12(x) للحصول على متعددة الحدود المطلوبة L012(x)، ويتم تحديث هذه النتيجة في العنصر الثاني من المصفوفة y_temp (هنا، j = i + 1 = 2). بعد ذلك، يتم حساب وتحديث العناصر المتبقية تباعًا L123(x) ... Ln - 2، n - 1، n(x) في هذه الخطوة.
3. قم بتحديث i = i + 1 وكرر الخطوة 2 حتى تصل إلى كثير الحدود النهائي L0 ، 1 ،. . . ، ن (س).

منحنيات بيانات المصعد بناءً على استيفاء Aitken

وفقًا للمتطلبات الجديدة لـ TSG T7001-2009 ، يتم فحص منحنى الرحلة لأعلى أو لأسفل بدقة عند نقاط بيانات الحمل الحالية. هذه النقاط هي أيضًا نقاط استيفاء لـ Aitken. إذا تم استخدام هذه الأزواج السبعة من النقاط للاستيفاء بشكل مباشر ، فقد تنشأ مشكلة: قد يكون من الصعب تجنب كثيرات الحدود عالية الترتيب (حتى المرتبة السادسة) في الحل. في بعض الحالات ، ستظهر "ظاهرة Runge". سيزيد التذبذب غير المرغوب فيه من الخطأ الحسابي ويؤثر على عدم استقرار الحساب. لا يُعد استيفاء أيتكن ولا نيوتن استثناءً.

مع أخذ الفحص الفعلي في الاعتبار بعناية ، فمن الحكمة تنفيذ ثلاثة منحنيات في التجزئة ، تتوافق مع استيفاء Aitken لثلاث مجموعات من البيانات: x0 ، x1 ، x2 ؛ x2 ، x3 ، x4 ؛ و x4 و x5 و x7. لا يمنع هذا التحسين الفني منحنيات الاستيفاء النهائية من تجربة ظواهر Runge فحسب ، بل يعمل أيضًا على تنعيم المنحنى بأكمله ، نظرًا لأن أعلى ترتيب متعدد الحدود هو x2 فقط.

تصميم البرمجيات

من أجل التحقق من فعالية الطريقة المقترحة ، تم تقديم MATLAB GUI ليتم برمجتها ، وتم تصميم العديد من الوظائف المهمة ، مثل وظائف "استيفاء Aitken مع ضغط التخزين" ، و "حساب معامل التوازن" ، إلخ. هو مبين في الشكل 3.

استيفاء Aitken مع ضغط التخزين

هذه الوظيفة هي الجسم الرئيسي لاستيفاء Aitken مع تنفيذ ضغط التخزين. بعد استدعاء دالة ، ستُرجع تعبيرًا f لكثير حدود الاستيفاء الخاص بها ، بالإضافة إلى معاملات كثيرة الحدود المقابلة a وقيمة الدالة y0 (إذا كانت الإدخال) عند نقطة الاستيفاء x₀.

وظيفة [و ، أ ، ذ₀] = interpolation_aitken (x، y، x₀)

سيمز ر ؛ سيمز ن ؛

. . . ،. . .

y_temp (1: n) = t ؛

for(i = 1:n - 1)

لـ (j = i + 1: n)

y_temp(j) = y(j)*(t - x(i))/(x(j) - x(i)) + y(i)*(t - x(j))/(x(i) -
خ (ي)) ؛ نهاية؛

ص = y_temp ؛

تبسيط (y_temp) ؛ نهاية؛

تبسيط (y_temp (n)) ؛

f = جمع (y_temp (n)) ؛

f = vpa (و ، 5) ؛

إذا (nargin == 3)

y₀ = الغواصات (y_temp (n) ، 't' ، x₀);

العوامل = sym2poly (f) ؛ آخر؛

العوامل (1: n) = y_temp (1: n) ؛

العوامل = sym2poly (f) ؛ نهاية

وظيفة الاستيفاء في Aitken

وفقًا للتحليل في "منحنيات بيانات المصعد استنادًا إلى Aitken's Interpolation" ، يجب تقسيم جميع نقاط بيانات الفحص إلى ثلاث مجموعات ، x (1: 3) ، x (3: 5) و x (5: 7) ، لتنفيذ الاستيفاء بشكل مستقل:

[f_up1, a_up1]=interpolation_aitken(x(1:3), y1(1:3));

[f_up2, a_up2]=interpolation_aitken(x(3:5), y1(3:5));

[f_up3, a_up3]=interpolation_aitken(x(5:7), y1(5:7));

[f_dowm1, a_dowm1]=interpolation_aitken(x(1:3), y2(1:3));

[f_dowm2, a_dowm2]=interpolation_aitken(x(3:5), y2(3:5));

[f_dowm3, a_dowm3]=interpolation_aitken(x(5:7), y2(5:7));

دالة حساب معامل التوازن

معامل التوازن هو نقطة التقاطع لمنحني بيانات الرحلة لأعلى ولأسفل. يسمى "معامل التوازن" ، ويمكن حسابه من خلال إيجاد الفرق بين هذين متعددي الحدود جبريًا والبحث في التقاطع مع المحور الأفقي.

flag_solve = 0 ؛

a_delta1 = a_up1 - a_dowm1; r1 = poly2sym(a_delta1);

. . . . . .

إذا (الغواصات (r2، 'x'، 40) * الغواصات (r2، 'x'، 75) <0)

x₀ = fzero (r2، [40 75]) ؛

     flag_solve = '2' ؛

elseif (الغواصات (r3، 'x'، 75) * Subs (r3، 'x'، 110) <0)

     x₀ = fzero (r3، [75 110]) ؛

     flag_solve = '3' ؛

elseif (الغواصات (r1، 'x'، 0) * الغواصات (r1، 'x'، 40) <0)

     x₀ = fzero (r1، [0 40]) ؛

     flag_solve = '1' ؛ آخر؛

     flag_solve = 'غير محلول' ؛ نهاية؛

إذا (flag_solve ~ = 'غير محلول')

     إذا (flag_solve == '1')

     [temp1، temp2، y₀] = interpolation_aitken (x (3: 5)، y1 (1: 3)، x₀) ؛ نهاية؛

     إذا (flag_solve == '2')

[temp1، temp2، y₀] = interpolation_aitken (x (3: 5)، y1 (3: 5)، x₀) ؛ نهاية؛

     إذا (flag_solve == '3')

[temp1، temp2، y₀] = interpolation_aitken (x (3: 5)، y1 (5: 7)، x₀) ؛ نهاية؛

. . . . . .

النهاية

تطبيق

واجهة البرنامج

للتحقق من جدوى هذه الطريقة، تم تطوير برنامج يعتمد على واجهة المستخدم الرسومية لبرنامج MATLAB. تظهر واجهته في الشكل 4. بعد تحديث بيانات فحص "نسبة الحمل - تيار المحرك"، سيُخرج البرنامج معامل التوازن ومعادلة منحنيات بيانات الفصل الصاعد والهابط.

مقارنة

للتحقق من ميزة استيفاء Aitken المطبق في معامل توازن المصعد ، تم إجراء المقارنات باستخدام نفس مجموعة البيانات. تظهر الرسوم البيانية لمنحنيات بيانات التفتيش في الشكل 5.

بالنظر إلى الشكل 5 (أ) ، يمكننا أن نجد بسهولة أن المنحنى ليس لامعًا على الإطلاق. من خلال النظر إلى الشكل 5 (ب) ، يمكننا أن نجد خيبة الأمل الأخرى - ظاهرة Runge عند طرف المنحنى. يظهر هذا أيضًا في التحليل السابق. ستزداد هاتان المشكلتان سوءًا عندما ينحرف معامل التوازن الحقيقي من النطاق 0.4 إلى 0.5 ، مما يقلل من دقة وموثوقية نتائج الاستقصاء.

كما هو مبين في الشكل 5 (ج) ، فإن منحنيات بيانات الفحص التي تم إنشاؤها في طريقة الاستيفاء في Aitken ليست لامعة بدرجة كافية فحسب ، ولكنها أيضًا خالية من ظاهرة Runge. يوفر دقة حل أفضل.

ملخص

معامل التوازن معلمة مهمة لتصميم وتنفيذ وفحص مصعد الجر. تقدم هذه الورقة طريقة جديدة لرسم منحنيات بيانات الاستقصاء ، والتي طبقت الاستيفاء الخاص بـ Aitken ، مما أدى إلى دقة عالية وموثوقية. كما تمت مناقشة ضغط التخزين في الحساب. تم تحقيق هذه الطريقة بنجاح من خلال برمجة MATLAB GUI ، وأظهرت مقارنات المنحنيات بطرق مختلفة أنها تؤدي بشكل فعال ، من حيث الدقة والموثوقية. كان هذا البرنامج مناسبًا للمفتشين ، مما أدى إلى تحسين كفاءة عملهم.

إقرار

هذا البحث مدعوم من قبل الإدارة العامة لفحص مراقبة الجودة والحجر الصحي في الصين - مشاريع تمويل الأبحاث المتخصصة للصناعة غير الربحية (رقم المشروع 201310153).

• 

• 

• 

• 

• 

• 

مراجع حسابات
[1] رونجيا زو ، "تحليل الانحدار على معامل توازن المصعد" ، مكننة البناء ، 1989 ، ص. 6.
[2] Zhenyuan Chang ، "حساب معامل توازن المصعد مع البرنامج ،" China Elevator ، 2012 ، p. 47-49.
[3] كليف ب. مولر ، "الحوسبة الرقمية باستخدام MATLAB ،" جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية ، الولايات المتحدة
[4] د. كاهانر ، سي مولر وس. ناش ، "الأساليب العددية والبرمجيات" ، برنتيس هول ، إنجليوود كليفس ، نيو جيرسي ، 1989.