Calcolo del coefficiente di equilibrio dell'elevatore basato sull'interpolazione di Aitken

di Huang Shaolun, Luo Zhiqun, Dai Qingyou e Wan Jianru

Il coefficiente di bilanciamento è un parametro importante per la progettazione, l'implementazione e l'ispezione degli ascensori a trazione. Viene tradizionalmente illustrato disegnando curve dei dati di ispezione "Carico-Corrente" con il metodo dello schizzo o del poligono, entrambi i quali causano inevitabilmente imprecisioni nei risultati numerici. Per risolvere questo problema, questo articolo sviluppa un metodo ad alta precisione basato sull'interpolazione di Aitken. Inoltre, per ridurre lo spazio di archiviazione non necessario, viene analizzata in dettaglio la tecnica di compressione dei dati nel processo di interpolazione. Infine, il metodo viene verificato con successo sulla piattaforma GUI MATLAB e il confronto con metodi diversi ne dimostra l'efficacia in termini di accuratezza e affidabilità.

Introduzione

Il coefficiente di bilanciamento è un parametro cruciale per gli ascensori a trazione, soprattutto nella progettazione degli ascensori. Un intervallo di coefficiente di bilanciamento appropriato, compreso tra 0.40 e 0.50, è più efficace per bilanciare il peso di una cabina (carica o scarica) e del suo contrappeso. Un coefficiente di bilanciamento adeguato può rendere l'ascensore più confortevole, più sicuro e meno energivoro. Nell'ispezione di un ascensore a trazione, questo importante parametro viene calcolato rappresentando graficamente i dati relativi alla corrente di carico in salita e in discesa. Tuttavia, nella pratica, è difficile garantire sempre un risultato con un errore basso, a causa della soggettività. Il metodo poligonale è un altro modo per affrontare questo problema, ma la sua accuratezza è tutt'altro che soddisfacente.

Zhou[1] ha presentato una soluzione con curva di regressione quadratica, ma le sue prestazioni sono scarse, poiché la curva non passa attraverso tutti i punti di ispezione. Di conseguenza, l'errore del coefficiente di bilanciamento aumenta. Chang[2] ha presentato un altro metodo con l'interpolazione di Newton. Tuttavia, non tiene conto del "fenomeno di Runge", che può causare distorsioni della curva nell'interpolazione polinomiale di ordine elevato. Pertanto, è difficile ottenere un risultato accurato e affidabile in ogni caso.

Soluzione della curva dei dati di ispezione basata sull'interpolazione di Aitken

In base al Regolamento per l'ispezione periodica e di supervisione degli ascensori - Ascensori a trazione e a trazione positiva (TSG T7001-2009) della Cina, entrato in vigore il 1° aprile 2010, l'ispezione del coefficiente di bilanciamento è stata modificata. Si suggerisce di progettare un coefficiente di bilanciamento compreso tra 0.40 e 0.50 o di soddisfare requisiti specifici. Poiché la cabina trasporta separatamente lo 0%, il 25%, il 40%, il 50%, il 75%, il 100% e il 110% del suo carico nominale, la corrente del motore corrispondente deve essere registrata quando la cabina funziona allo stesso livello del contrappeso. Successivamente, è possibile tracciare le curve dei dati di ispezione della corrente di carico in salita e in discesa. Queste curve presentano un punto di incrocio univoco per il calcolo del valore del coefficiente di bilanciamento.

Esistono due serie di dati di ispezione (andata e ritorno), ciascuna composta da sette coppie di dati. Un modo affidabile per migliorare il calcolo dell'accuratezza del coefficiente di bilanciamento è quello di adottare un approccio scientifico nella generazione delle curve. Pertanto, per risolvere questo problema, viene introdotto un nuovo metodo di interpolazione di Aitken.

Schema di interpolazione di Aitken

Il problema dell'interpolazione di Aitken viene solitamente formulato nella seguente forma: trovare il polinomio L(x) = Ln(x) di grado non superiore a n, i cui valori nei punti xi (i = 0, 1, 2, ..., n) coincidono con i valori della funzione data; ovvero, L(xi) = yi, dove xi rappresenta la percentuale di carico e yi rappresenta la corrente del motore. Geometricamente, ciò significa che bisogna trovare una curva algebrica della forma Ln(x) = y = a0xn + a1xn ​​- 1 + ... + a_n che passa attraverso l'insieme dato di punti di interpolazione M_i (xi, yi) (i = 0, 1, . . ., n).

Sfruttando xi e xi _{+ 1} come punti di interpolazione, qui, possiamo produrre il polinomio di interpolazione lineare Li, _{io + 1}(x) con due punti iniziali: 

Inoltre, considerando Li, i + 1(x) e Li + 1, i + 2(x) come due nuovi punti di interpolazione, possiamo ottenere il polinomio di interpolazione quadratica, che è, utilizzando il punto xi, xi + 1 e xi + 2:

Pertanto, una forma polinomiale generale L0, 1, . . ., n(x) di grado n passante dai punti di interpolazione (x0, y0) a (xn, yn), con tutti i punti di interpolazione coinvolti, può essere mostrata come la formula ricorsiva:

Questo è lo schema matematico dell'interpolazione di Aitken. La formula 3 (la formula ricorsiva) consente di derivare ogni polinomio da esattamente due polinomi di grado inferiore di uno, il che significa che è utile calcolare in successione. Questa formula ricorsiva indica che l'interpolazione di Aitken è efficiente quanto l'interpolazione di Newton sull'ereditarietà.

Compressione di archiviazione per il processo di interpolazione

Per semplificare i calcoli, i risultati sopra riportati vengono solitamente tabulati. Per il calcolo di L...(x), è conveniente utilizzare la disposizione dei polinomi di interpolazione in Figura 1. Quello situato sulla diagonale principale e sottolineato è il risultato dell'n-esimo polinomio nell'n-esimo passo.

Nella tabella di interpolazione di Aitken, i polinomi in ogni passaggio vengono costruiti come una matrice triangolare inferiore, che viene sempre memorizzata come array bidimensionale. Tuttavia, è importante tenere presente che, quando si calcola un elemento in questa matrice, questo è correlato solo a due elementi: uno situato nell'angolo in alto a sinistra e l'altro sul lato sinistro. In altre parole, tutti gli elementi sono eliminabili, tranne quelli che rimangono in diagonale. Pertanto, è consigliabile utilizzare la tecnologia array monodimensionale per la compressione della memoria durante il calcolo di Aitken. Questa tecnica è illustrata nella Figura 2, dove gli elementi contrassegnati nei campi rossi vengono aggiornati a ogni passaggio.

I passaggi della compressione della memoria nel calcolo sono:

1. Avvia il contatore di passi I = 1. Calcola la prima riga nella matrice L, quindi memorizza i risultati in un array y_temp di una dimensione.
2. Utilizzando gli elementi i-esimo e j-esimo (j = i + 1, ..., n) in y_temp, la Formula 1 esegue un'interpolazione per calcolare un nuovo risultato, che copre quindi la posizione dell'elemento j-esimo. Ad esempio, quando i = 1, si interpola con L01(x) e L12(x) per ottenere il polinomio desiderato L012(x) e si aggiorna questo risultato nel secondo elemento dell'array y_temp (in questo caso, j = i + 1 = 2). Successivamente, si calcolano e si aggiornano in successione gli elementi rimanenti L123(x) ... Ln - 2, n - 1, n(x) in questo passaggio.
3. Aggiornare i = i + 1 e ripetere il passaggio 2 finché non si raggiunge il polinomio finale L0, 1, . . . , n(x).

Curve dei dati dell'ascensore basate sull'interpolazione di Aitken

In conformità con il nuovo requisito del TSG T7001-2009, la curva di intervento, sia ascendente che discendente, viene ispezionata rigorosamente nei punti dati della corrente di carico. Questi punti sono anche punti di interpolazione di Aitken. Utilizzando queste sette coppie di punti per l'interpolazione diretta, potrebbe sorgere un problema: potrebbe essere difficile evitare polinomi di interpolazione di ordine elevato (fino al sesto) nella soluzione. In alcuni casi, si verificheranno "fenomeni di Runge". Un'oscillazione indesiderata aumenterà l'errore di calcolo e influenzerà le instabilità di calcolo. Né l'interpolazione di Aitken né quella di Newton fanno eccezione.

Considerando attentamente l'ispezione effettiva, è consigliabile implementare tre curve nella segmentazione, corrispondenti all'interpolazione di Aitken per tre gruppi di dati: x0, x1, x2; x2, x3, x4; e x4, x5, x7. Questo miglioramento tecnico non solo impedisce che le curve di interpolazione finali subiscano fenomeni di Runge, ma leviga anche l'intera curva, poiché il suo ordine polinomiale più elevato è solo x2.

Progettazione software

Per verificare l'efficacia del metodo proposto, è stata introdotta la GUI MATLAB per la programmazione e sono state progettate diverse funzioni importanti, come le funzioni "interpolazione di Aitken con compressione della memoria", "calcolo del coefficiente di bilanciamento", ecc. Il flusso del software è mostrato nella Figura 3.

Interpolazione di Aitken con compressione dello storage

Questa funzione è il corpo principale dell'implementazione di interpolazione con compressione di memoria di Aitken. Dopo una chiamata alla funzione, restituirà un'espressione f del suo polinomio di interpolazione, nonché i corrispondenti coefficienti polinomiali a e il valore della funzione y0 (se in input) nel punto di interpolazione x.₀.

funzione [f, a, y₀] = interpolazione_aitken (x, y, x₀)

simboli t; simboli n;

. . ., . . .

temperatura_y (1:n) = t;

per(i = 1:n - 1)

per(j = i + 1:n)

y_temp(j) = y(j)*(t - x(i))/(x(j) - x(i)) + y(i)*(t - x(j))/(x(i) -
x(j)); fine;

y = y_temp;

semplifica(y_temp); fine;

semplifica(y_temp(n));

f = raccogli(y_temp(n));

f = vpa(f, 5);

se(nargin==3)

y₀ = subs(y_temp(n),'t',x₀);

fattori = sym2poly(f); altrimenti;

fattori(1:n) = y_temp(1:n);

fattori = sym2poly(f); fine

Funzione di interpolazione di Aitken

Secondo l'analisi in "Elevator Data Curves Based on Aitken's Interpolation", tutti i punti dati di ispezione dovrebbero essere segmentati in tre gruppi, x(1:3), x(3:5) e x(5:7), per eseguire l'interpolazione in modo indipendente:

[f_up1, a_up1]=interpolation_aitken(x(1:3), y1(1:3));

[f_up2, a_up2]=interpolation_aitken(x(3:5), y1(3:5));

[f_up3, a_up3]=interpolation_aitken(x(5:7), y1(5:7));

[f_dowm1, a_dowm1]=interpolation_aitken(x(1:3), y2(1:3));

[f_dowm2, a_dowm2]=interpolation_aitken(x(3:5), y2(3:5));

[f_dowm3, a_dowm3]=interpolation_aitken(x(5:7), y2(5:7));

Funzione di calcolo del coefficiente di equilibrio

Il coefficiente di equilibrio è il punto di intersezione delle curve dei dati di viaggio in salita e in discesa. Chiamato "coefficiente di equilibrio", può essere calcolato calcolando algebricamente la differenza tra questi due polinomi e cercando l'intersezione con l'asse orizzontale.

flag_solve = 0;

a_delta1 = a_up1 - a_downm1; r1 = poly2sym(a_delta1);

. . . . . .

se(subs(r2, 'x', 40)*subs(r2, 'x', 75) < 0)

x₀ = fzero(r2, [40 75]);

     flag_solve = '2';

altrimentise(subs(r3, 'x', 75)*subs(r3, 'x', 110) < 0)

     x₀ = fzero(r3, [75 110]);

     flag_solve = '3';

altrimentise(subs(r1, 'x', 0)*subs(r1, 'x', 40)<0)

     x₀ = fzero(r1, [0 40]);

     flag_solve = '1'; altrimenti;

     flag_solve = 'irrisolto'; fine;

if(flag_solve~='irrisolto')

     se(flag_solve=='1')

     [temp1, temp2, y₀] = interpolazione_aitken(x(3:5), y1(1:3), x₀); FINE;

     se(flag_solve=='2')

[temp1, temp2, y₀] = interpolazione_aitken(x(3:5), y1(3:5), x₀); FINE;

     se(flag_solve=='3')

[temp1, temp2, y₀] = interpolazione_aitken(x(3:5), y1(5:7), x₀); FINE;

. . . . . .

fine

Applicazione

Interfaccia software

Per verificare la fattibilità di questo metodo, è stato sviluppato un software basato su MATLAB GUI. La sua interfaccia è mostrata in Figura 4. Dopo aver aggiornato i dati di ispezione "Percentuale di carico - Corrente del motore", il software genererà il coefficiente di bilanciamento e l'espressione delle curve dei dati di intervento sia in salita che in discesa.

Confronto

Per verificare il vantaggio dell'interpolazione di Aitken applicata al coefficiente di bilanciamento dell'elevatore, i confronti sono stati effettuati con lo stesso set di dati. I grafici delle curve dei dati di ispezione sono mostrati nella Figura 5.

Osservando la Figura 5(a), possiamo facilmente notare che la curva non è affatto lucida. Osservando la Figura 5(b), possiamo individuare l'altra delusione: il fenomeno di Runge al terminale della curva. Questo fenomeno è presente anche nell'analisi precedente. Questi due problemi peggiorano quando il coefficiente di bilanciamento reale si discosta dall'intervallo 0.4-0.5, riducendo l'accuratezza e l'affidabilità dei risultati dell'ispezione.

Come mostrato nella Figura 5(c), le curve dei dati di ispezione generate con il metodo di interpolazione di Aitken non solo sono sufficientemente lucide, ma sono anche prive del fenomeno Runge. Ciò garantisce una migliore accuratezza della soluzione.

Sintesi

Il coefficiente di bilanciamento è un parametro importante per la progettazione, l'implementazione e l'ispezione degli ascensori a trazione. Questo articolo presenta un nuovo approccio per tracciare le curve dei dati di ispezione, che applica l'interpolazione di Aitken, ottenendo elevati livelli di precisione e affidabilità. È stata inoltre discussa la compressione della memoria nel calcolo. Il metodo è stato implementato con successo tramite la programmazione GUI MATLAB e il confronto delle curve con metodi diversi ha dimostrato un funzionamento efficace, sia in termini di precisione che di affidabilità. Questo software si è rivelato pratico per gli ispettori, migliorandone l'efficienza lavorativa.

Riconoscimento:

Questa ricerca è supportata dall'Amministrazione generale per la supervisione della qualità, l'ispezione e la quarantena della Cina – Progetti di finanziamento per la ricerca specializzata nel settore non-profit (numero di progetto 201310153).

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Referenze
[1] Runjia Zhou, “Analisi di regressione sul coefficiente di equilibrio dell’ascensore”, Construction Mechanization, 1989, p. 6.
[2] Zhenyuan Chang, “Il calcolo del coefficiente di bilanciamento dell’ascensore con il software”, China Elevator, 2012, p. 47-49.
[3] Cleve B. Moler, “Calcolo numerico con MATLAB”, Society for Industrial & Applied Mathematics, Stati Uniti
[4] D. Kahaner, C. Moler e S. Nash, “Metodi numerici e software”, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1989.