Fred Hymans e la teoria della trazione su fune, prima parte

Vengono raccontati i contributi tecnici di una leggenda del settore.

L'influenza e l'impatto di Frederick “Fred” Hymans sull'industria degli ascensori in relazione alla teoria matematica della trazione su fune saranno riportati in non piccola misura. La prima parte di questa serie in due parti ripercorrerà i suoi contributi tecnici al tema della trazione su fune, e la seconda fornirà un piccolo resoconto storico sull'uomo. Gli storici sono invitati a condividere qualsiasi conoscenza supplementare su Hymans.

La relazione di Eulero Eytelwein

Prima di discutere i suoi contributi, va opportunamente attribuito il concetto di trazione come parametro. L'equazione fondamentale che mette in relazione il rapporto tra le tensioni della fune in entrambi i lati in entrata e in uscita della puleggia motrice alla trazione disponibile per qualsiasi sistema fune/puleggia è la classica equazione di Eulero Eytelwein.[1] È attribuito a Leonhard Euler (1707-1783) e Johann Albert Eytelwein (1764-1848), entrambi studiosi di un tempo precedente.

Un sistema di ascensore a fune semplificato 1:1 è mostrato nella Figura 1. Le notazioni utilizzate sono definite verso la fine di questo articolo. Sono mostrate le unità dimensionali SI.

L'equazione di Eulero-Eytelwein è valida quando le due estremità di una fune, aventi tensioni diverse, sono avvolte attorno a una puleggia o a un oggetto simile, come un albero, un palo o il verricello di una nave. L'equazione si applica alle forze di trazione (tensioni) della fune in entrambe le direzioni. Affinché non si verifichi lo slittamento della fune, il rapporto tra le tensioni deve soddisfare la relazione generale di Eulero-Eytelwein:

                                                        

Per gli ascensori, l'equazione (1) può essere riscritta per riflettere il punto di imminente slittamento della fune come:                                                                                                                                                                      

La revisione di questa equazione di Eulero Eytelwein mostra che sono presentate due condizioni. Primo, quando le masse della vettura sono maggiori della massa del contrappeso, T₁ > T₂ , e vengono utilizzati i termini medio e destro dell'equazione (2), in modo che:                                                                      

In secondo luogo, quando la massa del contrappeso è maggiore delle masse dell'auto, , e vengono utilizzati i termini sinistro e medio dell'equazione (2):                                                                      

L'equazione (4) può essere riscritta come:                                                                                                                                          

da cui:

La matematica conferma l'ovvia conclusione, vale a dire che il rapporto tra la tensione della fune pesante e quella più leggera non deve essere maggiore della trazione disponibile tra le funi e le scanalature della puleggia. I lati destri delle equazioni 3 e 6 rappresentano la trazione disponibile per una fune e una superficie di trazione generalizzate sulla puleggia, che è espressa come:

                                                                                     

Il paranco per miniera a frizione Koepe

Prima di discutere il contributo di Hymans alla teoria della trazione su fune, è opportuno menzionare il contributo al lato applicativo degli azionamenti di trazione di Friedrich Koepe, un ingegnere minerario tedesco. Koepe ha sviluppato il suo paranco a frizione, che è stato reso popolare nell'industria mineraria tedesca. Fino a quel momento, negli anni '1870 dell'Ottocento, i paranchi da miniera erano azionati a tamburo. Nel 1877, Koepe rivelò il suo concetto di azionamento a frizione nel brevetto tedesco n. 218 (1 agosto 1877)[2]; successivamente, in Austria (26 ottobre 1877); in Belgio (31 ottobre 1877); in Francia (2 novembre 1877); in Inghilterra (19 novembre 1877); e nel brevetto statunitense n. 206,251 (23 luglio 1878).[3] Nel rivedere le origini dello sviluppo dell'ascensore a trazione tra il 1877 e il 1891, il Dr. Lee Gray ha osservato:

“Il successo di questo ascensore e la correlazione tra il suo funzionamento e la durata dell'ascesa ai requisiti emergenti degli ascensori dei grattacieli americani sembrerebbe indicare una connessione abbastanza diretta tra questa innovazione e gli sviluppi successivi negli Stati Uniti Tuttavia, mentre questa affermazione viene fatta occasionalmente, non vi è, infatti, alcuna chiara evidenza che colleghi l'ascensore di Koepe con lo sviluppo dell'ascensore a fune negli Stati Uniti”[5]

Il brevetto tedesco di Koepe prevedeva una grande puleggia motrice disposta con un profondo canale metallico a forma di U in cui la singola fune di sollevamento sarebbe entrata in contatto con una scanalatura semicircolare (Figura 3), tratta dal brevetto tedesco. In un progetto alternativo divulgato nel brevetto statunitense, blocchi di legno sono stati assemblati nel bordo della puleggia per fornire una sede indossabile per la fune di sollevamento. Nel brevetto statunitense[3] il testo recita: “La scanalatura della puleggia di avvolgimento è, di preferenza, rivestita di legno o altro materiale morbido adatto allo scopo di aumentare l'attrito e di diminuire l'usura della fune .” L'Annuario degli ingegneri di Kempe ha ampliato le diverse sedi delle funi impiegate nei paranchi a frizione Koepe: “I blocchi di legno sono fissati in una rientranza nel cerchione della ruota (puleggia). In Germania, gli inserti di pelle, gomma o fibra accoppiata sono incastonati in blocchi di legno”. [4]

Koepe ha utilizzato l'attrito disponibile nella scanalatura per azionare il sistema di sollevamento della miniera a doppia cabina, ma non ha preteso di sviluppare forme di scanalatura della puleggia che ottimizzassero la trazione disponibile per soddisfare le esigenze di un sistema di ascensore. È da notare che nel paranco a frizione Koepe, ogni carro con carico approssimativamente uguale controbilancia l'altro (Figura 2).

Mentre la cronologia mondiale per le invenzioni relative agli schemi di attrito (trazione) dovrebbe essere annotata, l'argano di attrito di Koepe è notevole. Tuttavia, come postulato da Gray, non ci sono prove a sostegno dell'idea che il paranco a frizione di Koepe abbia aperto la strada al successivo sviluppo della trazione dell'ascensore.[5] Infatti, l'invenzione di Koepe verteva solo su una delle due variabili che compongono l'esponente,
µθ, cioè l'angolo di avvolgimento, , nell'equazione (7), ma non il coefficiente di attrito, µ. Il successivo sviluppo nel settore degli ascensori si è concentrato sia sul coefficiente di attrito, µ, e l'angolo di avvolgimento, θ, nell'equazione (7).

Contributi di Frederick Hymans

A questo punto ci si potrebbe chiedere: “Data la brillante ipotesi espressa dall'equazione di Eulero Eytelwein, dove entra in gioco Hymans, e qual è il suo contributo al tema della trazione su fune?” Inizia con i punti importanti pubblicizzati in una presentazione di un documento dell'American Society of Mechanical Engineers (ASME). Nella sua presentazione alla Sezione Trasporti ASME nell'autunno del 1938, David L. Lindquist, ingegnere capo di Otis dal 1912 al 1944, ha tracciato l'evoluzione tecnica delle macchine elettriche di trazione e delle scanalature delle pulegge di trasmissione.[6] La sua presentazione ha anche raccontato l'uso precoce di vari tipi di ascensori risalenti al 1850, inclusi gli ascensori idraulici a fune ad alta velocità. Oltre al suo commento su sistemi di controllo, sicurezze, regolatori, respingenti, interblocchi, ecc., diverse sezioni della sua presentazione forniscono un notevole contesto per la discussione delle scanalature della puleggia motrice per macchine a trazione elettrica sulla base della considerevole ricerca e sviluppo di Hymans, come segue:

“Per quanto è noto, il primo tentativo di applicare un motore elettrico a un ascensore fu fatto nel 1887 da William Baxter a Baltimora e, nel 1889, i primi ascensori elettrici di successo furono installati da Otis Brothers and Co. nel Demarest Building a Fifth Avenue e 33rd Street, New York City. Questi ultimi ascensori erano del tipo a tamburo elicoidale e rimasero in servizio per circa 35 anni.

“Sono stati apportati molti miglioramenti all'ascensore elettrico del tipo a tamburo, ma la sua velocità era limitata a circa 400 piedi al minuto e la corsa era limitata dalla lunghezza del tamburo di avvolgimento, che non poteva superare la larghezza del vano corsa.

“Sono stati fatti molti tentativi per migliorare l'ascensore elettrico per l'uso in edifici alti eliminando il tamburo. Tra i tipi utilizzati commercialmente c'erano:

• Elevatore a vite Sprague-Pratt del 1894, che utilizzava le pulegge moltiplicatrici e le funi dell'elevatore idraulico, ma spostava la testa della traversa da una vite azionata da un motore elettrico
• Ascensore Fraser del 1899, che utilizzava due motori elettrici e un azionamento a fune di trazione differenziale
• Ascensore a trazione senza ingranaggi Van Buren del 1903 con fune 2:1
• Nello stesso anno, la Otis Elevator Co. sviluppò l'ascensore a fune gearless 1:1, e il primo fu installato nel 1904 presso la Duane Street Power Station della New York Edison Co.

“Gli ovvi vantaggi del principio di trazione dimostrato dall'ascensore a fune senza ingranaggi hanno portato alla sua applicazione alla macchina dell'ascensore a ingranaggi come sostituto del tamburo di avvolgimento.

“Nel 1911, fu fatto il primo tentativo noto di utilizzare una fune a avvolgimento singolo in connessione con macchine a ingranaggi, ma non era possibile ottenere una trazione sufficiente con la scanalatura tonda convenzionale e, pertanto, era necessaria una qualche forma di scanalatura di presa. La fune a avvolgimento singolo era ovviamente una semplificazione.

“In un primo momento, è stata utilizzata una scanalatura di presa a forma di V. Questa forma della scanalatura forniva un'ampia trazione quando la puleggia era nuova, ma poiché le funi indossavano le scanalature, l'azione di pizzicamento e, di conseguenza, la trazione, si riduceva notevolmente. Era praticamente impossibile determinare mediante ispezione quanto vicino fosse il punto pericoloso di scivolamento in modo da poter provvedere tempestivamente alla riscolpitura o alla sostituzione della puleggia.

“Per il servizio intermittente a bassa velocità e la tensione della fune leggera, le scanalature a V non si consumavano rapidamente, ma per ottenere una trazione costante (indipendente dall'usura) e un'usura meno rapida, è stata adottata la scanalatura a sottosquadro rotondo. È evidente che quest'ultima forma di scanalatura ha dato la stessa azione di pizzicamento e, quindi, la stessa trazione per tutta la vita utile della scanalatura. Per gli ascensori ad alta velocità e per piani alti, è sempre stata utilizzata la doppia fasciatura con scanalature tonde.

“La domanda di un ascensore a ingranaggi a bassa velocità a basso prezzo e, in particolare, il desiderio di eliminare l'ascensore a tamburo intrinsecamente pericoloso, ha costretto alla commercializzazione di un ascensore a trazione a avvolgimento singolo.

“In un primo momento, è stata utilizzata una scanalatura di presa a forma di V di 30°. Questa forma della scanalatura forniva un'ampia trazione quando la puleggia era nuova, ma poiché le funi indossavano le scanalature, l'azione di pizzicamento e la corrispondente trazione [erano] frequentemente ridotte al punto di scivolare. Per prevenire una rapida usura e una corrispondente riduzione della trazione, ora viene generalmente utilizzata una scanalatura circolare a sottosquadro”.

La macchina di trazione elettrica senza ingranaggi ha soppiantato il sistema di ascensori idraulici a fune multipla ad alta velocità nei primi anni del 1900 (Tabella 1). Nell'evoluzione delle prime macchine per ascensori elettrici a trazione e dei metodi di azionamento a fune di successo, per prima è arrivata la macchina a vite senza fine con azionamento a tamburo per le funi di sollevamento. Poi è arrivata la macchina gearless con trazione, seguita dalla macchina a vite senza fine con la puleggia motrice inserita al posto del tamburo, con conseguente trazione. Mentre l'industria degli ascensori in generale utilizzava la scanalatura a V sulle pulegge di trasmissione delle macchine di trazione con ingranaggio a vite senza fine, le scanalature delle pulegge di trasmissione Otis si sono spostate sul tipo con scanalature a sottosquadro (U/C) in base all'analisi e al design di Hymans della famiglia di U/ C scanalature.

Le scanalature della puleggia motrice per le macchine con elevatore a trazione senza ingranaggi (DWT) a doppio avvolgimento nei primi anni del 1900 si basavano sulle scanalature della sede rotonda utilizzate per la prima volta sulle macchine a tamburo ma con scanalature più profonde. Le scanalature della puleggia motrice sulle prime macchine gearless Otis nei primi anni del 1900 sono state descritte in un articolo dell'American Heritage, gran parte del contenuto del quale era di provenienza Otis:

“Una varietà comune, messa in uso per la prima volta da Otis nel 1903, è la macchina di trazione senza ingranaggi, alimentata da un motore elettrico a velocità variabile situato nella parte superiore del vano ascensore. Questo motore aziona una grande puleggia profondamente scanalata, sulla quale [passa] una serie di cavi paralleli che sono fissati da un'estremità alla parte superiore dell'ascensore e dall'altra a un pesante contrappeso. . . . ”[7]

Il riferimento a una "puleggia profondamente scanalata" ha dedotto che le scanalature della sede rotonda dispiegate sulle macchine gearless erano più profonde. La sua descrizione è coerente con la tecnologia groove per covoni e tamburi, che è stata seguita fin dagli albori delle funi metalliche. I covoni sono stati progettati e realizzati per avere scanalature più profonde rispetto ai tamburi. Le scanalature del tamburo erano in genere poco profonde per adattarsi al tiraggio laterale delle funi mentre subivano gli angoli di flottazione quando si verificava l'avvolgimento o lo svolgimento delle funi.

Le funi che scorrevano nelle scanalature della puleggia motrice del sedile rotondo mostravano lo slittamento della fune in disposizioni di fune a trazione singola (SWT), rendendo quindi necessario l'impiego di una scanalatura di trazione più alta. Immettere la scanalatura a V per le disposizioni della macchina con ingranaggio a vite senza fine SWT.

Le prime pulegge di azionamento della macchina per ascensori a trazione a ingranaggi a partire dal 1911 utilizzavano scanalature a V a causa della loro elevata capacità di trazione attribuita al pizzicamento della fune all'interno della scanalatura. Quando la scanalatura è nuova, la fune entra in contatto con il profilo a V in due punti sui rispettivi lati della scanalatura a V (Figura 4 (a)) nei punti a e b, determinando pressioni molto elevate tra la fune e la scanalatura e un'elevata sforzo di trazione. Con il passare del tempo, la fune assume una sede arrotondata su entrambi i lati della scanalatura a V, (Figura 4(b)), diminuendo così l'effetto di pizzicamento del profilo a V, inducendo pressioni fune-scanalatura inferiori, che , a sua volta, si traduce in una diminuzione della trazione disponibile. Col passare del tempo, la condizione continua a peggiorare (Figura 4 (c)). Una volta che ciò si verifica, l'auto continua a scivolare oltre il pavimento durante il rallentamento e ne consegue un'usura accelerata tra la fune e la scanalatura. L'unica azione correttiva consiste nel tagliare nuovamente le scanalature della puleggia al loro profilo originale.[10 e 11]

Nel suo brevetto del 1897,[8 e 9] Augustus L. Duwelius, pur non avanzando alcuna pretesa di invenzione rispetto alla trazione disponibile della scanalatura della puleggia motrice nelle sue 28 rivendicazioni di brevetto, descrisse il dispiegamento contemporaneo di funi di sollevamento in ferro operanti in V- pulegge motrici scanalate all'epoca:

“Per garantire il grado di impegno tra la puleggia motrice e la fune di sollevamento necessario per trasmettere la potenza alla cabina dell'ascensore, è stata pratica fornire alle pulegge motrici scanalature aventi due lati ad angolo acuto e simili alla lettera V. La l'incuneamento della fune di sollevamento nella scanalatura, se sufficientemente acuto, assicurava la trasmissione della forza motrice. L'effetto immediato di ciò sulla fune di ferro dolce impiegata fu di pizzicarla deformandola, causando un cambiamento nella struttura molecolare dei fili, seguito dall'usura per attrito all'esterno della fune dovuta al suo ripetuto incastro e rilascio dal solco e la sua distruzione iniziale entro un servizio così breve da rendere il suo impiego in questo modo imprevedibile e pericoloso. Ciò era dovuto al pizzicamento nella scanalatura a V e alla pressione derivante dal peso combinato dell'auto con il suo carico e il contrappeso".

All'inizio della sua carriera con Otis, Hymans ha riconosciuto che era necessaria una soluzione per i profili ottimali delle scanalature della puleggia per le applicazioni SWT servite da macchine di trazione a ingranaggi, il mercato del pane e del burro per Otis. L'ottimizzazione della capacità di trazione per il mercato degli ingranaggi raggiungerebbe due obiettivi: primo, fornire una gamma di valori di trazione disponibili tra quelli offerti dalla scanalatura della sede rotonda e dalla scanalatura a V; in secondo luogo, ridurre l'usura della fune e della scanalatura a un livello più ragionevole. Hymans ipotizzò che un profilo di scanalatura disposto con la parte inferiore della sezione della scanalatura (Figura 5 (a)) sarebbe stato efficace nel mantenere una quantità fissa di trazione disponibile e un adeguato supporto della fune quando si verificava l'usura della scanalatura, a condizione che il supporto verticale della fune rimasto costante.

Il modello matematico di Hymans era quindi basato sul mantenimento di un supporto verticale relativamente costante per la fune quando si verificava l'usura della scanalatura. Facendo riferimento alla Figura 5,[10 e 11] è prevista una U/C verticale diritta dai punti da a a b nella parte inferiore della scanalatura, in modo che, quando si verifica l'usura della scanalatura, la fune continui ad avere un supporto verticale relativamente costante. In Figura 5(a), la larghezza orizzontale dell'U/C è definita dall'angolo sotteso dalle lettere aob, definito in seguito come l'angolo U/C della scanalatura, , (Figura 6).

 Un primo commento di un portavoce di Otis all'epoca del primo contratto per una macchina di trazione elettrica senza ingranaggi dell'azienda al Beaver Building, a New York City (NYC) nel 1903, è stato commemorato nell'"Otis Bulletin Special 125th Anniversary Edition", che affermava:

“Con un ascensore, da sei a otto lunghezze di cavo metallico, o funi di sollevamento, sono attaccate alla parte superiore dell'ascensore e avvolte attorno alla puleggia motrice del motore elettrico in scanalature speciali. L'altra estremità dei cavi è fissata a un contrappeso che scorre su e giù nel pozzo sulle proprie guide di scorrimento.

“Il peso dell'elevatore da una parte e il contrappeso dall'altra preme i cavi sulle scanalature della puleggia. Quando il grande motore elettrico fa girare la puleggia, muove i cavi quasi senza slittamenti”. [12]

La descrizione del portavoce delle funi premute nelle scanalature quasi senza slittamento è coerente con due estremi dell'epoca: DWT con scanalature della puleggia a sede rotonda e SWT con scanalature a V. Tuttavia, l'era dell'SWT per le applicazioni gearless non sarebbe avvenuta per la parte migliore di un secolo. Pertanto, il commento suggerisce che le prime macchine a trazione senza ingranaggi erano DWT e le scanalature erano a sede rotonda. Il problema dello slittamento della fune nelle scanalature della sede rotonda è stato ridotto al minimo grazie alla maggiore trazione disponibile offerta dall'ampio angolo di avvolgimento,θ, derivante dalla fune a doppio avvolgimento.

La teoria dell'eredità postulata dall'equazione di Euler Eytelwein era insufficiente per stabilire la trazione disponibile tra una scanalatura della puleggia sagomata radialmente e un profilo della fune essenzialmente circolare (Figura 6).

È chiaro dai primi lavori di Hymans che l'effettivo coefficiente di attrito che entra in gioco nell'applicazione dell'equazione di Euler Eytelwein all'interfaccia corda-scanalatura doveva essere variabile, a seconda della geometria di contatto tra la corda e le superfici della scanalatura.[13 -19] Questa ipotesi ha posto le basi per la sua analisi matematica delle forze generate all'interfaccia della fune e della scanalatura per risultare in vari gradi di trazione disponibile, a seconda della forma della scanalatura. Alla fine dell'estate/inizio autunno 1920, Hymans intraprese la sua analisi matematica preliminare dello sforzo di trazione della fune nella regione di contatto tra la fune e la scanalatura.

La tecnologia di riproduzione era primitiva nel 1920 rispetto agli anni successivi. A parte i manoscritti originali del lavoro di Fred Hymans, l'opzione rimanente per ottenere copie era quella di abbozzare i documenti. Gli originali della sua Teoria della trazione della fune non sono più disponibili, ma le copie del progetto, che coprono la raccolta di documenti, sono sopravvissute come progetti, come mostrato nella Figura 7.

Per sviluppare il modello matematico necessario per trovare il fattore di forma della scanalatura, Hymans ha postulato:

• La gola della puleggia è interamente rigida e indeformabile.
• L'usura della scanalatura si verifica verticalmente.
• La fune di sollevamento è un cilindro perfettamente liscio.
• La sezione trasversale della fune rimane circolare poiché i carichi vengono imposti alla fune.
• Gli effetti centrifughi della fune sono trascurabili.
• A causa delle pulegge di grande diametro, la resistenza alla flessione della fune è trascurabile.
• Il periodo iniziale di usura non viene considerato.

I primi manoscritti di Hymans sulla teoria della trazione su fune furono scritti esclusivamente da lui nel 1920. Questi documenti contenevano i suoi trattati fondamentali su diversi argomenti, come segue:

• La forza radiale per unità di lunghezza della fune^[13]
• L'entità delle pressioni della scanalatura^[14]
• La reazione della scanalatura per pollice di bordo^[15]
• Il coefficiente di attrito apparente^[16]
• Trazione^[17]
• Trazione a avvolgimento singolo^[18]
• Strisciamento^[19]

Hymans ha affermato che l'aumento più significativo della trazione può essere ottenuto modificando la forma della scanalatura utilizzando la scanalatura sottosquadro, che aumenta il coefficiente di attrito apparente. Ha derivato la relazione matematica che quantificherebbe le pressioni della scanalatura in qualsiasi punto di contatto corda-scanalatura secondo la seguente relazione sinusoidale:                                                                                                  

L'equazione (8) utilizza le variabili mostrate nelle Figure 8, 9 e 15. La forza radiale, Pr, provoca una distribuzione di pressione sul limite inferiore del profilo della fune, mantenendola in uno stato di equilibrio verticale. È fisicamente distribuito nelle regioni di contatto corda-scanalatura. Tali distribuzioni di pressione sono mostrate graficamente in scala relativa nelle figure 8 e 9 per le configurazioni delle scanalature delle scanalature a sede tonda e delle scanalature a sottosquadro, rispettivamente. A scopo di confronto, sono mostrate due scanalature.^[1] In Figura 8, è mostrata una scanalatura a sede tonda dove la pressione diminuisce dal suo massimo, pmax , vicino al fondo del contatto del profilo della fune con la scanalatura al suo minimo, pmin = 0, nella parte superiore della scanalatura. Il modello matematico è per una scanalatura leggermente usurata, in modo tale che nel caso sia indicata la regione di contatto della fune all'interno della scanalatura, dove γ = 180° = π.

La distribuzione della pressione della scanalatura in una scanalatura a sottosquadro leggermente usurata è mostrata in Figura 9, dove le pressioni normalmente prodotte nella parte inferiore della scanalatura della sede rotonda non sono più presenti a causa del sottosquadro. Pertanto, poiché la somma verticale dei vettori di pressione deve essere in equilibrio con la forza radiale per unità di lunghezza della fune, i vettori di pressione devono essere esercitati su una regione di contatto della scanalatura più piccola, inducendo così pressioni della scanalatura superiori a quelle riscontrate con la sede tonda scanalatura. Le pressioni massime della scanalatura si verificheranno sui due bordi del sottosquadro. A parità di carico, Pr, si aumenta la pressione massima ai bordi del sottosquadro. La tabella 2 mostra il confronto delle pressioni massime fune-scanalatura per ciascuna scanalatura in funzione della pressione massima indotta in una scanalatura a sede tonda sotto lo stesso carico, Pr. Sono mostrate le popolari scanalature sottosquadro utilizzate nel settore.

Hymans ha mostrato che la trazione disponibile potrebbe essere aumentata aumentando l'angolo di sottosquadro nella parte inferiore della scanalatura.[1 e 14-17] C'è un limite all'angolo di sottosquadro massimo, poiché maggiore è il sottosquadro, minore è il supporto verticale la fune riceve dalla scanalatura e, quindi, minore è il carico che possiamo applicare alle funi senza causare una rapida usura della puleggia e una rapida rottura della fune.

Per questo motivo, il carico ammissibile per fune diminuisce con un corrispondente aumento dell'angolo di sottosquadro.

Diversi anni dopo aver sviluppato la teoria matematica della trazione a fune per i sistemi di ascensori a fune, Hymans e Axel V. Hellborn sono stati coautori Der Neuzeitliche Aufzug mit Treibscheibenantrieb,^[20] in cui la teoria della trazione su fune sviluppata da Hymans è stata spiegata in modo più dettagliato e sono state aggiunte molte altre analisi e illustrazioni. È anche degno di nota il fatto che la teoria del tampone petrolifero documentata per la prima volta nel documento di Hymans del 1926 all'ASME[23] sia stata pubblicata in questo libro.

Questo libro è la bibbia per la teoria e la pratica della trazione a fune e della progettazione del buffer dell'olio nel settore degli ascensori in tutto il mondo. La relazione tra questi due ingegneri era la loro affiliazione a Otis, anche se su sponde diverse dell'Oceano Atlantico. Hymans era un ingegnere di ricerca nell'ufficio del capo ingegnere presso gli uffici esecutivi di Otis a New York; Hellborn è stato indicato come direttore tecnico di Otis, New York. L'ulteriore attribuzione geografica a Hellborn sul frontespizio ricorda Stoccolma, che era una delle principali città europee in cui Otis aveva una grande presenza di vendite. Tuttavia, la città non avrebbe avuto un ufficio tecnico, dal momento che tutti i prodotti Otis progettati per la distribuzione internazionale sono stati progettati a New York. Poiché David L. Lindquist era l'ingegnere capo di Otis, e Hymans gli riferiva direttamente, si può solo concludere che Hymans e Hellborn erano colleghi contemporanei con interessi accademici condivisi in materia di trazione delle funi, ammortizzatori, ecc., ma il ruolo di Hellborn all'interno Otis sembra meno notevole di quelli di Lindquist e Hymans.

Da Hymans e Hellborn, il coefficiente di attrito apparente è definito dal fattore di forma della scanalatura della fune, G, e dal coefficiente di attrito statico effettivo, µ.

La traduzione inglese del sommario del libro di Hymans e Hellborn è la seguente:

"IO. Le caratteristiche dell'ascensore a trazione:

     A. La disposizione meccanica

     B. La compensazione del peso della fune di sospensione

     C. La sicurezza operativa

 “II. La teoria della trasmissione del carico per attrito della fune, la sua natura e le sue caratteristiche:

     A. La distribuzione delle sollecitazioni nella fune sopra la puleggia di trazione

     B. Lo scorrimento della fune (variazione di lunghezza dovuta alla natura elastica della fune sotto sforzo)

     C. La differenza di tensione nelle funi di sospensione

     D. Influenze statiche e dinamiche sul rapporto di sollecitazione          

     E. La pressione superficiale tra fune e scanalatura

     F. Il fattore di attrito tra fune e scanalatura

     G. La valutazione dei risultati teorici

 “III. La teoria dei dispositivi tampone:

     A. Calcolo dell'ammortizzatore a molla

     B. Calcolo della riserva d'olio

 "IV. Prassi consigliata nella tipizzazione e nella standardizzazione:

     A. Il significato essenziale della gamma di prestazioni

     B. La configurazione in serie di macchine e motori

     C. Esempi di standardizzazione”[20]

Hymans postulò che, dove c'è conformità radiale tra il contorno della superficie delle funi metalliche e le scanalature della puleggia di supporto, il coefficiente di attrito apparente, fa, sarebbe maggiore del coefficiente di attrito di base, µ, a causa della composizione e della geometria del materiale dei corpi di accoppiamento. Hymans ipotizzò che esistesse una relazione matematica che governava il valore numerico del coefficiente di attrito apparente. Questa relazione porta l'equazione di Eulero Eytelwein a un nuovo livello di accuratezza analitica introducendo un fattore di forma della scanalatura della fune, G, che incarna la geometria del contatto corda-scanalatura e la distribuzione sinusoidale della pressione sviluppata tra la fune e la scanalatura.

Partendo dalla derivazione della forza radiale per unità di lunghezza delle funi,^[13] Hymans ha matematizzato la distribuzione della pressione del solco^[14] risultante dall'appoggio della fune di sollevamento contro la superficie di contatto della scanalatura (vedere le figure 11 e 12). Da questo, è stato in grado di derivare l'entità delle pressioni della scanalatura.^[14] Nel libro ^[20], questa illustrazione della scanalatura è fornita come Figura 35,P.57. Nei manoscritti originali, l'angolo che sottende il sottosquadro era indicato come a. Negli anni successivi, a è stata ridisegnata come trazione disponibile e all'angolo di sottosquadro è stato assegnato il simbolo β.

Dalle pressioni della scanalatura, Hymans ha determinato la reazione della scanalatura per unità di lunghezza del cerchione della puleggia,^[15] da cui ha analizzato la distribuzione della pressione diretta radialmente sulle regioni di contatto corda-scanalatura, tenendo conto delle regioni di discontinuità dove potrebbe essere un sottosquadro della scanalatura.[16] Una volta determinata la forza risultante che agisce radialmente dal centro della fune alla regione di contatto sulla scanalatura, Hymans ha sviluppato una funzione trigonometrica per il fattore di forma della scanalatura della fune, G, che, moltiplicata per il coefficiente di attrito effettivo, ha dato come risultato un coefficiente apparente di attrito. Si esprime come:                                                                                              

dove il fattore di forma della scanalatura della fune è stato trovato come:

L'equazione generale per il coefficiente di attrito apparente delle funi di acciaio che operano su scanalature di puleggia motrice in ghisa è stata derivata da Hymans nella seguente forma generale basata sulla sostituzione dell'equazione (10) nell'equazione (9) per ottenere:                                                                                             

L'equazione (11) è la stessa forma della suddetta di Hymans e Hellborn. L'ASME A17 Mechanical Design Committee, originariamente noto come A17 Mechanical Safety Devices & Machine Design Committee, ha discusso la matematica della trazione nei primi giorni di A17 e ha scelto di non includere le equazioni di applicazione per la trazione della fune nella sezione di progettazione di A17, preferendo per lasciarlo ai progettisti e ai produttori come proprietario. (La filosofia A17 di non sostenere l'uso di A17 come manuale di progettazione prevale ancora.) Decenni dopo, gli europei hanno deciso di includere un'appendice EN 81 Sezione M^[21] in cui le equazioni di Hymans e Hellborn sarebbero elencate come informative. Tuttavia, gli autori del codice EN 81 hanno mostrato l'equazione di Hymans per il fattore di forma della scanalatura utilizzando gli angoli complementari. I manoscritti di Hymans mostrano il coefficiente apparente, l'equazione di Hymans (5) nella forma data dall'equazione (11) di questo articolo.

Le tavole manoscritte di Hymans del 1920 relative alla derivazione della forma della scanalatura per la corda sono mostrate nelle Figure 16 e 17 a scopo di contesto storico e accuratezza.

Hymans ha stabilito il carico ammissibile per fune sulla base delle sue analisi teoriche abbinate ai dati dei test. Un esempio è mostrato nella Figura 18. Il suo stile di scrittura rivaleggiava con quello di una macchina da scrivere! Sulla base di ciò, la riformulazione di Hymans dell'equazione di Euler Eytelwein applicabile agli azionamenti per ascensori a trazione è data come:

                                                                                              

L'autore illustra più dettagliatamente le derivazioni matematiche di Hymans nella presentazione su DVD. La scanalatura della puleggia motrice illustrata nella norma di sicurezza EN81-S0, clausola 5.11.2.3.1.1, è mostrata nella Figura 19.

Sulla base della descrizione EN 81-1 degli angoli,[21] il corrispondente coefficiente di attrito apparente basato sulla teoria di Hymans è stato dato come:                                                                                              

La prova dell'equivalenza dei fattori di forma della scanalatura tra l'equazione di Hymans utilizzata negli Stati Uniti e quella utilizzata nel codice EN 81-1 si trova sostituendo la seguente relazione nell'equazione 11:

Referenze
[1] Gibson, GW "Rope Traction: Theory and Practice", seminario, formato DVD, Elevator World, Inc. (2009).
[2] Brevetto tedesco n. 218 (1 agosto 1877), Berlino.
[3] Brevetto USA n. 206,251, "Elevators", Friedrich Koepe, Bochum, Prussia (23 luglio 1878).
[4] Annuario degli ingegneri di Kempe, p. K3/46, Koepe Winders (1988).
[5] Gray, Lee. “L’ascensore a trazione: prima parte, origini 1877-1891,” ELEVATOR WORLD, agosto 2004, p. 156-159.
[6] Lindquist, David L. "Outline of Elevator Development", settembre 1937, presentato alla ASME Transportation Section (autunno 1938).
[7] Klaw, Spencer. "Tutto al sicuro, signori, tutto al sicuro", American Heritage, agosto/settembre 1978, vol. 29, numero 5, pag. 43.
[8] Gray, Lee. "L'elevatore a trazione: seconda parte, le prime macchine elettriche 1891-1899", EW, settembre 2004, p. 129-133.
[9] Brevetto USA n. 595,874, "Electric Elevator", Augustus L. Duwelius (21 dicembre 1897).
[10] Hymans, F. Electric Elevators, Book I, International Textbook Co., p. 25-27 (1931 e 1941).
[11] Hymans, F. Electric Elevators, Libri I e II, ripubblicato da Elevator World 1992.
[12] "Otis sviluppa un design senza ingranaggi", "Bollettino Otis, edizione speciale per il 125° anniversario", p. 3 (20 settembre 1978).
[13] Hymans, F. “The Radial Force per Unit Length of Rope” (agosto 1920).
[14] Hymans, F. “The Magnitude of the Groove Pressures” (agosto 1920).
[15] Hymans, F. “The Groove Reaction per Inch of Rim” (agosto 1920).
[16] Hymans, F. “The Apparent Coefficient of Friction” (agosto 1920).
[17] Hymans, F. “Trazione” (10 settembre 1920).
[18] Hymans, F. "Trazione ad avvolgimento singolo" (1920).
[19] Hymans, F. “The Creep” (1920).
[20] Hymans, F. & Hellborn, AV “Der Neuzeitliche Aufzug mit Treibscheibenantrieb” (tradotto come “Modern Elevators with
Friction Drive Sheaves”), Verlag von Julius Springer, Berlino (1927).
[21] EN 81-1: 1998 Regole di sicurezza per la costruzione e l'installazione di ascensori – Parte 1: Ascensori elettrici, appendice M.
[22] EN 81-50: 2014 Regole di sicurezza per la costruzione e l'installazione di ascensori – Esami e prove – Parte 50: Regole di progettazione, calcoli, esami e prove dei componenti degli ascensori.
[23] Hymans, F. "Gli arresti di emergenza dell'ascensore a trazione senza ingranaggi agli atterraggi del terminal", ASME, New York, New York (6 dicembre 1926).