绳索动力学

本研究探讨了瞬态振动是如何产生的以及绳索振动发生的原因。

作者：Phil Andrew，理学硕士，哲学硕士和 Stefan Kaczmarczyk，博士

电梯系统中的绳索振动通常会导致无法接受的乘坐质量。 一个众所周知的现象是“瞬态”振动，它发生在电梯运行的特定点上，通常靠近高层，并且极难消除。 我们将试图证明与电梯的额定速度相比，绳索系统中的振荡可以被认为是“快速的”（即使对于额定速度为 12 mps [2400 fpm] 或更高的“高速”电梯）。 为了分析绳索系统的动态行为，我们将展示如何将移动的电梯视为“准静止的”。

将采用汉密尔顿原理和经典力学推导出描述绳索振动的动力学方程。 将提出由此产生的偏微分方程，以解释悬挂系统中的横向和纵向振荡是如何交叉耦合的，以便绳索的横向振荡可以引发纵向振动，反之亦然。 最后，我们将通过一个例子来说明在电梯运行中的特定位置会如何产生瞬态振动，并强调为什么这种绳索振荡和振动如此难以消除，并简要介绍一些已解决问题的解决方案。过去提出。

悬挂系统动力学

可能很少有电梯工程师没有遇到过以一种或另一种形式表现出有害振动的电梯系统。 电梯系统振动的根本原因是多种多样的，包括未对准的导轨接头、偏心滑轮和滑轮、电子控制系统中的系统共振以及齿轮和电机产生的振动。

在许多情况下，电梯不会在整个行程中振动，而是会在行程的某个特定阶段“通过”共振。 很多时候，这个振动阶段发生在最高楼层或附近，因为吊绳变短了。 图 1 显示了可能遇到的现象类型。

然而，无论振动的根本原因是什么，几乎在所有情况下，振动都会激发绳索中的相关振动，无论是悬挂绳索还是补偿绳索。 因此，振动会耦合到汽车中，从而导致乘坐质量下降。 “振动”一词具有相对高频的口语含义，如果我们打算在讨论中包括“绳索摆动”，可能会造成混淆。 因此，我们将优先使用术语“振荡”而不是“振动”，因为该术语具有更宽频率范围的口语上下文。

让我们从一个简单的模型开始。 考虑静止电梯的悬挂和补偿绳索。 正如我们已经讨论过的，悬架将被电梯的质量及其负载弹性拉伸。 在垂直方向，电梯轿厢可以自由移动，并可以在吊绳的“弹簧”上摆动，如图 2（a）所示。 我们将用变量 u 表示垂直方向的振荡，表示从静止位置的垂直位移，˙u 表示电梯轿厢振荡的垂直速度（即，不是它通过井道的速度），ü 表示垂直与振动相关的加速度。

由于电梯轿厢被固定在导轨上，不能在水平方向上自由移动，因此吊绳的横向摆动在每一端都受到限制。 振荡以与吉他或小提琴弦相似（虽然不完全相同）的方式受到约束（图 2(b)

(c))。 然而，绳索可以在任何水平方向摆动。 为了尽可能地概括讨论，我们将横向振荡分解为正交位移，v、v˙ 和 ¨v 表示导轨平面内的运动（平面内），w、˙w 和 ¨ w 与导轨平面正交（平面外）。

因此，如果绳索在与导轨平面成某个角度 q 的方向 x 上摆动，则平面内和平面外的运动将是

v = x cosƟ, v˙ = x˙ cosƟ 和 v¨ = x¨ cosƟ

在指南的平面上，和

w = x sinƟ, w˙ = x˙ sinƟ 和 w¨ = x¨ sinƟ 在正交平面中。

当然，我们可能会遇到绳索在振荡中“旋转”的情况； 在这种情况下，角Ɵ 本身就是时间的函数，即Ɵ = Ɵ (t)。

当前悬挂绳索材料的性质使得任何绳索振动的阻尼都相当小。

基于基本力学的绳索振动分析可能表明，如果 M 是总悬挂质量（kg）（不包括悬挂绳索的质量），k 是绳索的刚度（N/m），那么在垂直方向平面，我们将有一个潜在的“自然”或“共振”振荡频率：

即使我们考虑了悬挂绳索的质量，上面的简单模型也不能反映真实情况。 在实践中，会有额外的谐波频率会导致乘客明显的现象。

在横向上，我们可能期望振荡频率

式中 L 为吊绳长度，n_SR 是吊绳的数量，m_SR 是吊绳的质量/米，再次注意到 Mg_n，绳索张力方程，不包括悬挂绳索本身的质量。 对于横向振荡，即使是简单的分析也表明谐波频率是可能的。

尽管这让我们对我们的预期有了直观的了解，但情况要复杂得多。 为了更真实地了解悬挂绳索的振荡模式，我们将不得不考虑比目前所考虑的更复杂的现象。

“缓慢变化”系统

第一个复杂因素是电梯轿厢本身的运动引起的问题。 我们对振荡机制的简单描述是基于静止的电梯轿厢； 在实践中，电梯可能在运动，因此吊索的长度随时间而变化。 悬挂质量 M(t) 和绳索长度 L(t) 现在是时间的函数。 悬吊质量 M(t) 仍不考虑悬吊绳索的质量，它将随着电梯穿过井道时悬挂在轿厢上的补偿绳索/链条和移动电缆的质量变化而变化。 即使在我们的简单模型中，刚度 k 也会随着绳索长度的变化而变化，从而改变纵向频率 ꙍ_u0, 当然，长度的变化直接影响横向频率 ꙍ_xn.

卡茨马尔奇克^[1] 已经表明我们可以定义一个无量纲参数

其中 V 是电梯额定速度 (mps)，ꙍ₀ rad/s 是最低固有频率（横向或纵向），L(t) 是吊索长度 (m)。[1] 请注意，这里的问题不是绳索的速度，而是绳索缩短的速度。 因此，与绳索（1:1、2:1 等）无关，参数 ε 是电梯速度的函数，而不是绳索速度。

Kaczmarczyk (ibid.) 报告说，如果我们能够满足

那么我们可以将系统定义为缓慢变化，这意味着我们可以采取电梯的任何特定位置，无论它是否在运动，并将其视为电梯是静止的。^[1]

观察绳索的横向振荡，上面提到的基本处理表明绳索的固有频率将为

然而，这个简单的方程假设绳索本身的弯曲刚度为零，并且是水平方向的。 太阳^[2] 建议为了更准确地估计垂直悬挂的平均自然频率，我们需要考虑绳索质量对平均张力的影响。 平均绳索张力 T 需要包括绳索重量的一半，即

包括横向谐波振荡频率以及自然频率，方程 4 则变为

期限 平方根符号内表明振荡的固有频率将高于对水平拉伸绳索的简单分析所建议的频率，并且绳索较长（即行程较长），绳索的固有频率不会下降的速度与方程 4 的简单模型所预测的一样快。然而，当汽车处于行驶的最低点时，频率仍将处于最小值，从而导致 e 的最大值。 如果我们定义 L_最大 为小车在正常行程最低点时的绳索长度，则

鉴于绳索上的载荷受安全标准的约束，我们可以通过保证绳索的最小断裂载荷和安全系数将公式 5 与绳索特性联系起来。

我们将定义 S_fM 作为最低运行点的安全系数（变化，主要取决于载客量，但也由于电梯通过井道时轿厢侧悬挂质量的变化），和 F_分钟 作为钢丝绳规定的最小断裂载荷。 有了这些定义，那么在旅行的最低点

结合方程 5 和方程 6，最低平均固有频率可以表示为

结合等式 2 和 7，考虑到实际上横向振荡频率将低于纵向频率，e 的最大值将为

以一系列标准纤维芯悬挂绳索的绳索表为例，我们可以检查 适用于各种绳索尺寸和安全系数。 不出所料，表 1 显示对于任何给定的安全系数 S_f， 的价值  在 11 毫米和 19 毫米之间的标准绳索尺寸范围内没有显着变化。

显然，最小破断载荷下的材料拉应力是相同的，对于类似的绳索结构，绳索空间系数（钢面积：总面积）也将合理恒定，从而导致稳定值

随着绳索尺寸明显变小，如应用于某些特殊设计，绳索的空间系数将开始变化，从而修改计算值 当然，在系统设计过程中，最低允许安全系数将在电梯轿厢承载额定载荷的情况下确定，同时考虑标准要求和实现令人满意的绳索寿命的约束条件。

通过计算与较低载荷相关的较高安全系数来考虑任何其他载荷，例如，如果额定载荷为 1200 kg 且轿厢侧固定质量为 1600 kg，则如果系统设计为安全系数为 16在额定载荷下，空车安全系数为

如果作为保守估计，我们的分析基于最大安全系数值为 30 的空车，则方程 8 变为

我们现在可以调查 e_最大 适用于一定范围的额定速度和行程。 为此，我们将最大实际行程作为 300 m 或电梯可以在最多 60 秒内完成的行程距离中的较小者，允许以 1 mps 的速度进行恒定的加速/减速曲线² （即，忽略混蛋要求施加的限制）。

结果如图 3 所示，表明在安全系数和最大行程的这种保守的高估计值下，我们可以说在 12 mps 的额定速度下，

允许我们将电梯视为准静止的。 此外，鉴于经验表明问题通常出现在行程上限附近，在井道中感兴趣的区域中，ε 的实际值将显着低于此最大值估计值。 结果表明，在 12 mps 的额定速度下，上层航站楼减速点处的 e 值约为 0.052。

动态模型

图 4 显示了一个合适的电梯系统动态模型。 为了使分析的数学更直接，该模型采用了“移动参考系”。 在模型中，所有距离都是从位于固定距离 L 处的移动原点开始测量的_最大 车顶上方，L_最大 (m) 代表汽车处于最低位置时的吊绳长度。 因此，L_T(t) 代表汽车行驶的距离 (m)； V(t) 是电梯轿厢速度（mps）； M(t) 是轿厢侧质量 (kg)，包括任何补偿绳索/链条、随行电缆等的质量； msr 为绳索单位长度的质量（kg/m）； T(t) 是平均绳索张力； A——绳索截面积（9 mm2）； E 是绳索的杨氏模量 (N/mm2)。

现在我们需要一些非常清晰的思考。 如果绳索是静止的，即不摆动，那么我们可以定义一个变量 s 来表示沿绳索长度的任何点相对于（移动）基准位置的位置。 在这些条件下，我们可以说绳索是“未变形的”，因为它只被悬挂的质量拉伸。 在极端情况下，s = L_最大 是悬架与轿顶相交点的平均位置。

如果绳索开始摆动，无论是垂直还是横向，它都会发生动态变形，即，给定点将从其静止位置（距基准面 s 米）偏移（相对）少量 ±u（垂直） , ±v（平面内的横向）和 ±w（平面外的横向）。

现在让我们检查一下如果系统处于运动和振荡中会发生什么。 我们暂时假设电梯机器和控制系统“非常僵硬”，即绳索中的任何振荡都不会传播到绳索与滑轮接触的点之外（振荡本身可能由振荡引发从机器和/或控制系统传播，但由于我们正在研究绳索本身的动力学，我们在这里假设没有来自滑轮的“强制功能”）。 因为，就通过井道的运动而言，系统是“缓慢变化的”，我们可以将位置 s 处的点沿绳索的运动视为电梯实际上是静止的，除了振荡。 在这些情况下，系统中的总能量将是恒定的，我们可以应用哈密顿原理[1]，它指出随着时间的推移，系统中动能和势能之间的差值的时间积分将是平稳的。 请注意，在绳索弹性的背景下，系统的势能包括绳索本身的应变能。 用数学术语来说，

其中δ代表变化，KE是系统动能，PE是重力势能，SE是应变能。

非常清楚公式 10 的含义和含义。 如果电梯轿厢向下加速，则系统的总动能因加速而增加，总势能减少，因为运动是向下的（假设轿厢质量大于配重质量）。 相反，如果汽车在向上行驶时减速，则总动能会减少，而总势能会增加。

然而，这不是我们在这里讨论的问题。 取而代之的是，我们拍摄了电梯轿厢在井道中某个点运动的“快照”，并观察系统中的能量在那个瞬间是如何在绳索的振荡运动（˙u，v˙， w˙ , 和 ü, ¨v, ¨w)、绳索上点的位置 (u, v, w) 和绳索中的应变能。 当然，u、v、w 和它们的时间导数将根据我们沿绳索测量它们的位置而变化，即它们不仅取决于时间，还取决于沿绳索的位置 s，因此此时当我们拍摄快照时，每个快照都是 s 和 t 的函数。 再次，用数学术语

为了进一步进行这种分析，我们需要深入研究经典力学的数学。 然而，对于电梯工程师来说，重要的是分析的结果，而不是分析本身。 结果是一组描述振荡运动的微分方程。 我们不打算在这里尝试任何这些方程的解，而只是简单地展示它们以证明三个位移 u、v 和 w 是相互依赖的。

一组三个方程

描述了悬索上一点的运动，而第四个方程

描述了电梯轿厢的振荡运动。 请注意，这个最终方程是在位置 s = L 处计算的_最大，即在悬架与轿顶相遇的平均位置。 在这个位置，v = w = 0，因为绳索不能在它们连接到汽车的地方横向移动，所以等式不包括任何与 v 和 w 或其导数有关的项。

虽然这四个方程组非常复杂，但电梯工程师的兴趣点很简单，所有三个运动 u、v 和 w 都出现在描述绳索振荡的一组微分方程中。 这表明这三种运动相互耦合并且会相互作用。 因此，绳索的横向振动可以产生纵向振动，反之亦然，并且任何和所有振动模式都将导致电梯轿厢的振动。

很明显，在任何时刻，悬索中任何一点的平均张力将为

请注意，由于我们假设绳索正在摆动，因此这是平均张力。 实际瞬时张力将取决于振荡的幅度和频率。

从上面的微分方程组，纵向振荡的固有频率可以由方程确定

其中 Y_n 是解决方案

并且 L(t) = L_最大 - L._T(t) (图 4)

因此，在对绳索振荡的更详细分析中，我们发现，与等式 1 的简单预测相反，绳索振荡的纵向固有频率可能（并且可能）存在“谐波”。

基于“缓慢变化”的标准，我们可以使用公式 5 来解释井道中任何一点的横向振荡：

正如我们之前所做的那样，我们可以从关系式中替换等式 13 和 14

将悬浮质量随时间的变化视为安全系数的变化，即

从而根据绳索特性表达频率方程。

在绳索中激发振荡有多种可能性：

• 机器和/或控制系统可以通过以下方式产生激励：
  • 滑轮/皮带轮偏心距
  • 减速装置中的循环现象（例如，蜗杆轴的启动次数）
  • 电机中的电磁现象（直流电机中的不对称转子绕组、转子结构中的虚假导电路径，例如未绝缘的铁心螺栓）
  • 电机驱动中的频率不稳定

• 偏心滚轮导靴
•  来自一个或多个导向关节的脉冲输入
•  导轨错位
•  可能出现由方程 12 预测的一个或多个纵向共振频率与由方程 14 预测的横向频率一致。
• 建筑物本身的共振频率可能与公式 12 和/或公式 14 预测的一个或多个频率一致。

例如：

考虑具有以下参数的电梯：

• 车侧固定质量 P 1600 kg
• 额定载荷 Q 1250 kg
• 绕线系数 r 2:1

吊绳长度

• 汽车在最低位置 L₀ 60 m
• 吊绳数n_R 6
• 补偿绳数 n_CR 4
• 随行电缆数 n_TC 3
• 吊绳质量/mm_R 1.2 kg / m
• 补偿绳质量/mm_CR 1.6 kg / m
• 移动电缆质量/mm_TRAV 0.5 kg / m

假设额定速度为 3.5 mps，曳引轮的直径为 560 mm，但稍微偏心，当电梯以额定速度运行时，以大约 4 Hz 的频率对吊索产生纵向扰动。 前四个计算出的悬索纵向固有频率 X ꙍ_0u , 㙍_2u, 㙍_3u 和 ꙍ_4u) 显示在图 5 中绘制的悬挂绳索长度。

叠加在地块上的是指示建筑物楼层位置的阴影区域。 如图所示，每个楼层位置都位于阴影区域的边界处。 从图中可以清楚地看出，纵向基频 (ꙍ_4u) 非常低，这可以从经验中预测。

然而，当我们查看第二、第三和第四共振频率时，我们可以很清楚地看到随着电梯接近最高位置，这些频率是如何增加的。 在与电源频率相连的电机驱动器（例如，可变电压直流驱动器）中，驱动器可能会在 300 Hz 或 600 Hz（基于 50 Hz 电源）下产生一定水平的激励) 或 360 Hz 或 720 Hz（基于 60 Hz 电源）。 显然，在第 11 层和第 13 层之间的许多位置，任何此类激励都将与悬架的一个固有频率重合，并且很可能会在电梯轿厢中产生相关振动——当电梯接近时，这种瞬态振动现象会发生。正如我们在图 1 中指出的那样，在实践中可以很好地观察到较高的楼层。

如果我们现在考虑横向频率（图 6），叠加在图表上的是基本（最低）纵向固有频率（虚线）的变化。 水平（双）滑轮频率与其中一个固有频率重合的九个点用圆圈表示，从位于纵向频率重合的一楼和二楼之间的重合处开始。这个低频可能很重要因为它可能会激发补偿绳索的固有频率，引发轿厢下方的绳索摇摆或补偿器质量的振荡。

特别令人感兴趣的是滑轮频率的二次谐波、纵向基频和第四个横向频率之间的重合，位于 7.5 楼上方大约 11 Hz，第二个横向频率和滑轮基频之间的额外重合在大约4 Hz 在几乎相同的位置。 当电梯运行到顶层时，还会出现进一步的共振。 可以预见，这台电梯可能会有一些严重的振动问题，尤其是在11层附近。

结语

电梯井道内某些位置的瞬态振动是公认的现象。 Bydotted）线表示偏心皮带轮的基频和二次谐波频率的位置。

考虑电梯悬架是一个缓慢变化的系统，横向和纵向位移的动力学方程可以通过应用哈密顿原理来建立，这表明电梯的动能和势能之差的时间积分的变化系统随时间是平稳的，即

由分析得出的一组非线性微分方程清楚地表明绳索的纵向和横向振荡之间存在交叉耦合。 因此，如果在井道的某个位置，纵向和横向的固有频率一致，则这种交叉耦合可能会激发轿厢中的瞬态振动。 数值示例表明，在井道中的多个位置存在瞬态振荡的可能性，尤其是在上层附近，在这些位置，诸如较小滑轮偏心之类的外力影响可能与系统的一个或多个自然频率一致。

虽然解释起来很有用 the source 对于这种瞬态振动并能够预测它们可能出现的位置和方式，实际的工程师会质疑可以采取哪些姑息或治疗措施来减少或消除这种影响。 经验表明，这远非一件简单的事情。 共振频率是绳索张力和绳索长度的函数，这使得很难将共振移开，因为这些参数是电梯安装的基础。 增加电梯的质量会降低共振频率，但这可能意味着共振只是简单地移动到了井道上方的位置。 如果可以将共振频率降低到足以将共振的位置移动到行程中的最高点之外，那将是幸运的。

造成问题的主要因素是绳索的特性。 正如我们在讨论开始时所指出的，传统的钢丝绳结构为悬挂构件提供了很小的阻尼，即一旦振动开始，绳索结构中就没有多少吸收或消散振动能量。 振动能量的吸收/消散是减轻绳索传递振动的关键。 Kevlar® 等新型绳索材料具有更好的阻尼特性，应该不太容易出现问题。 然而，这些类型的绳索（还）没有得到普遍应用，虽然它们变得越来越普遍，但尚未建立像传统钢丝绳那样的广泛服务经验。

几位作者提出了一系列方法来抑制补偿和悬挂绳索中的绳索摇摆。 ^[1,3＆6] 罗伯逊^[3], 巴克^[4] 和特拉克托文科^[5] 拥有专利的机械方法来限制电梯轿厢和井道末端之间的一个或多个点的绳索振荡幅度。 三文鱼和希勒^[6] 为补偿器申请了液压系紧系统的专利，以最大限度地减少补偿绳的摇摆。

可以想象，电梯轿厢上的智能、主动锚固可用于将轿厢与悬挂绳索中的任何振动隔离开来，但这样的系统会很复杂。 请记住，绳索锚固是悬挂完整性的基础，这种方法的安全影响也需要进行大量调查，并且在电梯安全规范中固有的基本安全要求的背景下可能会遇到困难。

案例
[1] Kaczmarczyk, S., (1997) 长度缓慢变化的悬链线垂直电缆提升系统中的共振通道，声音和振动杂志，卷。 208 (2)，第 243-269 页
[2] Sun, L., (1995) 建筑物摇摆和电梯绳索振动，第 I、II 和 III 部分。《电梯世界》，第 XLIII 卷，第 3、4 和 5 期
[3] Robertson, LE, (1992) 电梯电缆摇摆最小化系统，美国专利 5,103,937
[4] Barker, FH, (1999) 最小化水平振动电梯补偿绳的系统和方法，美国专利 5,861,084
[5] Traktovenko, BG, Erlandson, PO, (1999) 防止电梯绳摇摆的摆臂，美国专利 5,947,232
[6] Salmon, KJ, Hiller, IA, (1985) 电梯液压系紧装置，美国专利 4,522,285