Fred Hymans y la teoría de la tracción con cuerdas, primera parte

Se registran las contribuciones técnicas de una leyenda de la industria.

En gran medida se hará una crónica de la influencia y el impacto de Frederick “Fred” Hymans en la industria de los ascensores en relación con la teoría matemática de la tracción por cable. La primera parte de esta serie de dos partes rastreará sus contribuciones técnicas al tema de la tracción con cuerdas, y la segunda proporcionará un pequeño relato histórico sobre el hombre. Se invita a los historiadores a compartir cualquier conocimiento adicional sobre los himnos.

La relación de Euler Eytelwein

Antes de comentar sus aportes, conviene atribuir debidamente el concepto de tracción como parámetro. La ecuación fundamental que relacionó la relación de las tensiones del cable en los lados de entrada y salida de la polea motriz con la tracción disponible para cualquier sistema de cable / polea es la ecuación clásica de Euler Eytelwein. [1] Se le atribuye a Leonhard Euler (1707-1783) y Johann Albert Eytelwein (1764-1848), ambos eruditos de una época anterior.

En la Figura 1 se muestra un sistema de ascensor con cuerdas 1: 1 simplificado. Las notaciones utilizadas se definen hacia el final de este artículo. Se muestran las unidades dimensionales SI.

La ecuación de Euler-Eytelwein es válida cuando los dos extremos de una cuerda, con tensiones diferentes, están enrollados alrededor de una polea u objeto similar, como un árbol, un poste o el cabrestante de un barco. La ecuación abarca tensiones de la cuerda en ambas direcciones. Para evitar que la cuerda se deslice, la relación entre las tensiones debe satisfacer la relación general de Euler-Eytelwein:

                                                        

Para los ascensores, la ecuación (1) se puede reescribir para reflejar el punto de deslizamiento inminente de la cuerda como:                                                                                                                                                                      

La revisión de esta ecuación de Euler Eytelwein muestra que se presentan dos condiciones. Primero, cuando las masas de los automóviles son mayores que la masa del contrapeso, T₁ > T₂ , y se utilizan los términos del medio y de la derecha de la Ecuación (2), de modo que:                                                                      

En segundo lugar, cuando la masa del contrapeso es mayor que la masa del automóvil, y se utilizan los términos izquierdo y medio de la Ecuación (2):                                                                      

La ecuación (4) se puede reescribir como:                                                                                                                                          

a partir del cual:

Las matemáticas confirman la conclusión obvia, a saber, que la relación entre la tensión de la cuerda pesada y la más ligera no debe ser mayor que la tracción disponible entre las cuerdas y las ranuras de la polea. Los lados derechos de las ecuaciones 3 y 6 representan la tracción disponible para una cuerda generalizada y una superficie de tracción en la polea, que se expresa como:

                                                                                     

El polipasto de mina de fricción de Koepe

Antes de discutir la contribución de Hymans a la teoría de la tracción por cable, conviene mencionar la contribución de Friedrich Koepe, un ingeniero de minas alemán, al lado de la aplicación de los accionamientos de tracción. Koepe desarrolló su polipasto de fricción, que se popularizó en la industria minera alemana. Hasta ese momento en la década de 1870, los polipastos de mina funcionaban con tambor. En 1877, Koepe reveló su concepto de accionamiento por fricción en la patente alemana nº 218 (1 de agosto de 1877) [2]; posteriormente, en Austria (26 de octubre de 1877); en Bélgica (31 de octubre de 1877); en Francia (2 de noviembre de 1877); en Inglaterra (19 de noviembre de 1877); y en la Patente de Estados Unidos No. 206,251 (23 de julio de 1878). [3] Al revisar los orígenes del desarrollo de los elevadores de tracción entre 1877 y 1891, el Dr. Lee Gray señaló:

“El éxito de este ascensor y la correlación entre su funcionamiento y la longitud de elevación con los requisitos emergentes de ascensores de los rascacielos estadounidenses parecería indicar una conexión bastante directa entre esta innovación y desarrollos posteriores en los EE. UU. Sin embargo, aunque esta afirmación se hace ocasionalmente, De hecho, no hay pruebas claras que vinculen el elevador de Koepe con el desarrollo del elevador de tracción en los EE. UU. ”[5]

La patente alemana de Koepe incluía una gran polea motriz dispuesta con un canal de metal profundo en forma de U en el que el único cable de izado entraría en contacto con una forma de ranura semirredonda (Figura 3), tomada de la patente alemana. En un diseño alternativo descrito en la patente estadounidense, se ensamblaron bloques de madera en el borde de la polea para proporcionar un asiento portátil para el cable de izado. En la patente de Estados Unidos [3], el texto dice: “La ranura de la polea de enrollar está, preferentemente, revestida con madera u otro material blando adecuado con el fin de aumentar la fricción y disminuir el desgaste de la cuerda. . " El Engineers Yearbook de Kempe amplió los diferentes asientos de cable empleados en los polipastos de fricción de Koepe: “Los bloques de madera se sujetan en un hueco en el borde de la rueda (polea). En Alemania, las inserciones de cuero, caucho o fibra aglomerada se colocan en bloques de madera ”. [4]

Koepe utilizó la fricción disponible en la ranura para impulsar el sistema de elevación de mina de dos carros, pero no pretendió desarrollar formas de ranura de polea que optimizarían la tracción disponible para satisfacer las necesidades de un sistema de ascensor. Es notable que en el polipasto de fricción de Koepe, cada carro con una carga aproximadamente igual compensa al otro (Figura 2).

Si bien debe tenerse en cuenta la línea de tiempo mundial para las invenciones relacionadas con los esquemas de fricción (tracción), el polipasto de fricción de Koepe es notable. Sin embargo, como Gray postuló, no hay evidencia que apoye la noción de que el polipasto de fricción de Koepe allanó el camino para el desarrollo posterior de la transmisión de tracción del ascensor. [5] De hecho, la invención de Koepe solo se centró en una de las dos variables que componen el exponente,
µθ, es decir, el ángulo de enrollamiento, θ, en la Ecuación (7), pero no el coeficiente de fricción, µ. El desarrollo posterior en la industria de los ascensores se centró tanto en el coeficiente de fricción, m, y el ángulo de envoltura, θ, en la ecuación (7).

Contribuciones de Frederick Hymans

En este punto, uno podría preguntarse: "Dada la brillante hipótesis expresada por la ecuación de Euler Eytelwein, ¿dónde entra Hymans y cuál es su contribución al tema de la tracción con cuerdas?" Comienza con los puntos notables publicados en una presentación de un artículo de la Sociedad Estadounidense de Ingenieros Mecánicos (ASME). En su presentación a la Sección de Transporte de ASME en el otoño de 1938, David L. Lindquist, ingeniero jefe de Otis de 1912 a 1944, trazó la evolución técnica de las máquinas eléctricas de tracción y las ranuras de las poleas motrices. [6] Su presentación también relató el uso temprano de varios tipos de ascensores que datan de la década de 1850, incluidos los elevadores hidráulicos de gran altura con cuerdas de alta velocidad. Además de su comentario sobre los sistemas de control, dispositivos de seguridad, gobernadores, amortiguadores, enclavamientos, etc., varias secciones de su presentación proporcionan un contexto considerable para la discusión de las ranuras de las poleas de transmisión para máquinas de tracción eléctrica basadas en la considerable investigación y desarrollo de Hymans, como sigue:

“Hasta donde se sabe, el primer intento de aplicar un motor eléctrico a un ascensor fue realizado en 1887 por William Baxter en Baltimore y, en 1889, Otis Brothers and Co. instaló los primeros ascensores eléctricos exitosos en el edificio Demarest. en la Quinta Avenida y la Calle 33, Ciudad de Nueva York. Estos últimos ascensores eran del tipo de tambor de tornillo sin fin y permanecieron en servicio durante unos 35 años.

“Se hicieron muchas mejoras al elevador eléctrico de tambor, pero su velocidad se limitó a unos 400 pies por minuto, y el recorrido estuvo limitado por la longitud del tambor de enrollamiento, que no podía exceder el ancho del hueco del ascensor.

“Se hicieron muchos intentos para mejorar el elevador eléctrico para su uso en edificios altos eliminando el tambor. Entre los tipos utilizados comercialmente se encuentran:

• Elevador de tornillo Sprague-Pratt de 1894, que utilizaba las poleas multiplicadoras y el cableado del elevador hidráulico, pero movía la cruceta mediante un tornillo accionado por un motor eléctrico.
• Elevador Fraser de 1899, que utilizaba dos motores eléctricos y un accionamiento por cable de tracción diferencial.
• Elevador de tracción sin engranajes Van Buren de 1903 con cableado 2: 1
• En el mismo año, Otis Elevator Co. desarrolló el elevador de tracción sin engranajes 1: 1, y el primero se instaló en 1904 en la central eléctrica de Duane Street de New York Edison Co.

“Las ventajas obvias del principio de accionamiento por tracción demostradas por el elevador de tracción sin engranajes llevaron a su aplicación a la máquina elevadora con engranajes como sustituto del tambor de bobinado.

“En 1911, se hizo el primer intento conocido de usar cables de una sola vuelta en conexión con máquinas de engranajes, pero no se pudo obtener suficiente tracción con la ranura redonda convencional y, por lo tanto, fue necesaria alguna forma de ranura de pellizco. La cuerda de una sola vuelta fue obviamente una simplificación.

“Al principio, se utilizó una ranura de pellizco en forma de V. Esta forma de ranura proporcionó una tracción amplia cuando la polea era nueva, pero a medida que las cuerdas desgastaban las ranuras, la acción de pellizco y, en consecuencia, la tracción se redujo considerablemente. Era prácticamente imposible determinar mediante inspección qué tan cerca estaba el punto de peligro de deslizamiento, de modo que se pudieran tomar las medidas oportunas para volver a tejer o reemplazar la polea.

“Para un servicio intermitente a baja velocidad y una tensión ligera del cable, las ranuras en V no se desgastaron rápidamente, pero para obtener una tracción constante (independiente del desgaste) y un desgaste menos rápido, se adoptó la ranura redondeada. Es evidente que esta última forma de ranura proporcionó la misma acción de pellizco y, por lo tanto, la misma tracción durante toda la vida útil de la ranura. Para ascensores de alta velocidad y de gran altura, siempre se utilizó la doble envoltura con ranuras redondas.

“La demanda de un elevador de engranajes de baja velocidad de menor precio y, en particular, el deseo de eliminar el elevador de tambor inherentemente peligroso, forzó la comercialización de un elevador de tracción de una sola vuelta.

“Al principio, se utilizó una ranura de apriete en forma de V de 30 °. Esta forma de ranura proporcionaba una tracción amplia cuando la polea era nueva, pero a medida que las cuerdas desgastaban las ranuras, la acción de pellizco y la tracción correspondiente [se] reducían con frecuencia hasta el punto de resbalar. Para evitar un desgaste rápido y la correspondiente reducción de la tracción, ahora se utiliza generalmente una ranura circular socavada ".

La máquina de tracción eléctrica sin engranajes reemplazó al sistema de elevadores hidráulicos de cables de múltiples rizos de alta velocidad a principios del siglo XX (Tabla 1900). En la evolución de las primeras máquinas elevadoras de tracción eléctrica y métodos de accionamiento por cable, surgió por primera vez la máquina de tornillo sin fin con un accionamiento de tambor para los cables de elevación. Luego vino la máquina sin engranajes con transmisión de tracción, seguida de la máquina de tornillo sin fin con la polea de transmisión insertada en lugar del tambor, lo que resultó en la transmisión de tracción. Mientras que la industria de ascensores en general utilizó la ranura en V en las poleas de transmisión de la máquina de tracción con engranajes helicoidales, las ranuras de las poleas de transmisión Otis se trasladaron al tipo de ranuras socavadas (U / C) según el análisis y diseño de Hymans de la familia de U / C ranuras.

Las ranuras de la polea motriz para las máquinas elevadoras de tracción sin engranajes de doble envoltura (DWT) a principios de la década de 1900 se basaban en las ranuras de asiento redondas que se usaron por primera vez en las cajas de ritmos pero con ranuras más profundas. Las ranuras de la polea motriz en las primeras máquinas sin engranajes Otis a principios de la década de 1900 se describieron en un artículo de American Heritage, gran parte del contenido del cual fue obtenido por Otis:

“Una variedad común, puesta en uso por primera vez por Otis en 1903, es la máquina de tracción sin engranajes, impulsada por un motor eléctrico de velocidad variable ubicado en la parte superior del hueco del ascensor. Este motor impulsa una polea grande, profundamente ranurada, sobre la cual [pasa] un conjunto de cables paralelos que se sujetan en un extremo a la parte superior del elevador y en el otro a un contrapeso pesado. . . . ”[7]

La referencia a una “polea profundamente ranurada” infirió que las ranuras redondas del asiento desplegadas en las máquinas sin engranajes eran más profundas. Su descripción es consistente con la tecnología de ranuras para poleas y tambores, que se ha seguido desde los albores de los cables de acero. Las poleas fueron diseñadas y fabricadas para tener ranuras más profundas que los tambores. Las ranuras de los tambores eran típicamente poco profundas para acomodar el estiramiento lateral de las cuerdas a medida que pasaban por los ángulos de la flota a medida que se enrollaban o desenrollaban las cuerdas.

Las cuerdas que corrían en las ranuras de la polea motriz del asiento redondo exhibían un deslizamiento de la cuerda en las configuraciones de cables de tracción de una sola vuelta (SWT), lo que requería el despliegue de una ranura de tracción más alta. Ingrese a la ranura en V para arreglos de máquina con engranajes helicoidales SWT.

Las primeras poleas de transmisión de máquinas elevadoras de tracción con engranajes que comenzaron en 1911 utilizaban ranuras en V debido a su alta capacidad de tracción atribuida al pellizco del cable dentro de la ranura. Cuando la ranura es nueva, el cable hace contacto con el perfil en V en dos puntos en los lados respectivos de la ranura en V (Figura 4 (a)) en los puntos ayb, lo que da como resultado presiones muy altas de cable a ranura y altas esfuerzo de tracción. Con el paso del tiempo, la cuerda lleva un asiento redondeado en ambos lados de la ranura en V, (Figura 4 (b)), disminuyendo así el efecto de pellizco del perfil en V, induciendo presiones más bajas entre la cuerda y la ranura, lo que , a su vez, se traduce en una disminución de la tracción disponible. A medida que pasa el tiempo, la condición continúa empeorando (Figura 4 (c)). Una vez que esto ocurre, el automóvil continúa deslizándose por el piso durante la desaceleración y se produce un desgaste acelerado entre la cuerda y la ranura. La única acción correctiva es volver a cortar las ranuras de la polea a su perfil original. [10 y 11]

En su patente de 1897, [8 y 9] Augustus L. Duwelius, aunque no hizo ninguna reivindicación de invención con respecto a la tracción disponible de la ranura de la polea motriz en sus 28 reivindicaciones de patente, describió el despliegue contemporáneo de cables de izado de hierro que operan en V- poleas de transmisión ranuradas en el momento:

“Para asegurar el grado de acoplamiento entre la polea motriz y el cable de elevación necesario para transmitir la potencia a la cabina del ascensor, ha sido la práctica proporcionar a las poleas motrices ranuras que tengan dos lados en un ángulo agudo y se asemejen a la letra V. el acuñamiento del cable de elevación en la ranura, si era suficientemente agudo, aseguraba la transmisión de la fuerza motriz. El efecto inmediato de esto sobre el cable de hierro dulce empleado fue pellizcarlo y deformarlo, lo que provocó un cambio en la estructura molecular de los alambres, seguido por el desgaste por fricción en el exterior del cable como consecuencia de su repetido acuñamiento y liberación. de la ranura y su destrucción inicial dentro de un servicio tan breve que su empleo de esta manera tan impredecible como peligroso. Esto se debió al pellizco en la ranura en V y la presión resultante del peso combinado del automóvil con su carga y el contrapeso ".

Al principio de su carrera en Otis, Hymans reconoció que se necesitaba una solución para los perfiles de ranura de polea óptimos para aplicaciones SWT servidas por máquinas de tracción con engranajes, el mercado de pan y mantequilla para Otis. La optimización de la capacidad de tracción para el mercado de engranajes lograría dos objetivos: primero, proporcionar un rango de valores de tracción disponibles entre los que ofrecen la ranura del asiento redondo y la ranura en V; en segundo lugar, reduzca el desgaste de la cuerda y la ranura a un nivel más razonable. Hymans postuló que un perfil de ranura dispuesto con la parte inferior del corte de ranura (Figura 5 (a)) sería eficaz para mantener una cantidad fija de tracción disponible y un soporte de cuerda adecuado a medida que se produjera el desgaste de la ranura, siempre que el soporte vertical de la cuerda se mantuvo constante.

Por lo tanto, el modelo matemático de Hymans se basaba en mantener un soporte vertical relativamente constante para la cuerda a medida que se producía el desgaste de la ranura. Con referencia a la Figura 5, [10 y 11] se proporciona un U / C vertical recto desde los puntos a hasta b en la parte inferior de la ranura, de modo que, a medida que se produce el desgaste de la ranura, el cable continuará teniendo un soporte vertical relativamente constante. En la Figura 5 (a), el ancho horizontal del U / C está definido por el ángulo subtendido por las letras aob, definido más adelante como el ángulo U / C de la ranura, β, (Figura 6).

 Un primer comentario de un portavoz de Otis en el momento del primer contrato de la compañía con una máquina de tracción eléctrica sin engranajes en el Beaver Building, en la ciudad de Nueva York (NYC) en 1903 fue conmemorado en la “Otis Bulletin Special 125th Anniversary Edition”, que decía:

“Con un elevador, de seis a ocho tramos de cable de alambre, o cables de elevación, se unen a la parte superior del elevador y se enrollan alrededor de la polea de transmisión del motor eléctrico en ranuras especiales. El otro extremo de los cables está unido a un contrapeso que se desliza hacia arriba y hacia abajo en el eje sobre sus propios rieles de guía ".

“El peso del elevador en un extremo y el contrapeso en el otro presiona los cables hacia abajo en las ranuras de la polea. Cuando el gran motor eléctrico hace girar la polea, mueve los cables casi sin deslizamiento ”. [12]

La descripción del portavoz de que las cuerdas se presionan hacia abajo en las ranuras casi sin deslizamiento es consistente con dos extremos de la era: DWT con ranuras de polea de asiento redondo y SWT con ranuras en V. Sin embargo, la era de SWT para aplicaciones sin engranajes no se produciría durante la mayor parte de un siglo. Por lo tanto, el comentario sugiere que las primeras máquinas de tracción sin engranajes eran DWT y las ranuras tenían asientos redondos. El problema del deslizamiento de la cuerda en las ranuras de los asientos redondos se redujo al mínimo gracias a la mayor tracción disponible que ofrece el gran ángulo de enrollamiento.θ, resultante de la cuerda de doble envoltura.

La teoría heredada propuesta por la ecuación de Euler Eytelwein fue insuficiente para establecer la tracción disponible entre una ranura de polea contorneada radialmente y un perfil de cable esencialmente circular (Figura 6).

De los primeros trabajos de Hymans se desprende claramente que el coeficiente de fricción efectivo que entra en juego al aplicar la ecuación de Euler Eytelwein en la interfaz cuerda-ranura tenía que ser variable, dependiendo de la geometría de contacto entre las superficies de la cuerda y la ranura. [13 -19] Esta hipótesis sentó las bases para su análisis matemático de las fuerzas generadas en la interfaz de la cuerda y la ranura para dar como resultado diversos grados de tracción disponible, dependiendo de la forma de la ranura. A finales del verano / principios del otoño de 1920, Hymans emprendió su análisis matemático preliminar del esfuerzo de tracción de la cuerda en la región de contacto de la cuerda a la ranura.

La tecnología de reproducción era primitiva en 1920 en comparación con años posteriores. Aparte de los manuscritos originales del trabajo de Fred Hymans, la opción restante para obtener copias era hacer un plano de los documentos. Los originales de su Teoría de la tracción con cuerdas ya no están disponibles, pero las copias de planos, que cubren la colección de documentos, sobrevivieron como planos, como se ve en la Figura 7.

Para desarrollar el modelo matemático necesario para encontrar el factor de forma del surco, Hymans postuló:

• La ranura de la polea es completamente rígida e indeformable.
• El desgaste de la ranura se produce verticalmente.
• El cable de elevación es un cilindro perfectamente liso.
• La sección transversal del cable permanece circular a medida que se imponen cargas sobre el cable.
• Los efectos centrífugos de la cuerda son insignificantes.
• Debido a las poleas de gran diámetro, la resistencia a la flexión del cable es insignificante.
• No se considera el período de uso inicial.

Los primeros manuscritos de Hymans sobre la teoría de la tracción con cuerdas fueron escritos únicamente por él en 1920. Estos artículos contenían sus tratados fundamentales sobre varios temas, como sigue:

• La fuerza radial por unidad de longitud de cuerda.^{[ 13 ]}
• La magnitud de las presiones del surco.^{[ 14 ]}
• La reacción del surco por pulgada de llanta^{[ 15 ]}
• El coeficiente de fricción aparente^{[ 16 ]}
• Tracción^{[ 17 ]}
• Tracción de envoltura única^{[ 18 ]}
• Arrastrarse^{[ 19 ]}

Hymans postuló que el aumento más significativo en la tracción se puede lograr cambiando la forma de la ranura utilizando la ranura socavada, lo que aumenta el coeficiente de fricción aparente. Derivó la relación matemática que cuantificaría las presiones de surco en cualquier punto de contacto cuerda a surco de acuerdo con la siguiente relación sinusoidal:                                                                                                  

La ecuación (8) usa las variables mostradas en las Figuras 8, 9 y 15. La fuerza radial, Pr, causa una distribución de presión sobre el límite inferior del perfil del cable, manteniéndolo así en un estado de equilibrio vertical. Se distribuye físicamente sobre las regiones de contacto cuerda-ranura. Dichas distribuciones de presión se muestran gráficamente a una escala relativa en las Figuras 8 y 9 para las configuraciones de ranuras de ranuras de asiento redondo y ranuras socavadas, respectivamente. A efectos de comparación, se muestran dos ranuras.^{[ 1 ]} En la Figura 8, se muestra una ranura de asiento redondo donde la presión disminuye desde su máximo, pmax, cerca de la parte inferior del contacto del perfil del cable con la ranura hasta su mínimo, pmin = 0, en la parte superior de la ranura. El modelo matemático es para una ranura ligeramente desgastada, de modo que la región de contacto de la cuerda dentro de la ranura se muestra para el caso, donde γ = 180 ° = π.

La distribución de la presión de la ranura en una ranura socavada ligeramente desgastada se muestra en la Figura 9, donde las presiones normalmente producidas en la parte inferior de la ranura del asiento redondo ya no están presentes debido a la socavación. Por lo tanto, dado que la suma vertical de los vectores de presión debe estar en equilibrio con la fuerza radial por unidad de longitud de cable, los vectores de presión deben ejercerse sobre una región más pequeña de contacto de la ranura, induciendo así presiones de la ranura más altas que las encontradas con el asiento redondo. ranura. Las presiones máximas de la ranura se producirán en los dos bordes del socavado. Bajo la misma carga, Pr, se incrementa la presión máxima en los bordes del socavado. La Tabla 2 muestra la comparación de las presiones máximas de cable a ranura para cada ranura en función de la presión máxima inducida en una ranura de asiento redonda bajo la misma carga, Pr. Se muestran las ranuras socavadas populares utilizadas en la industria.

Hymans demostró que la tracción disponible podría incrementarse aumentando el ángulo de corte en la parte inferior de la ranura. [1 y 14-17] Hay un límite en el ángulo máximo de corte, ya que cuanto más grande es el corte, menos soporte vertical el la cuerda recibe de la ranura y, por lo tanto, menos carga podemos poner en las cuerdas sin causar un desgaste rápido de la polea y una falla rápida de la cuerda.

Por esta razón, la carga permisible por cable disminuye con un aumento correspondiente en el ángulo de corte.

Varios años después de desarrollar la teoría matemática de la tracción por cable para sistemas de elevadores de tracción, Hymans y Axel V. Hellborn fueron coautores Der Neuzeitliche Aufzug mit Treibscheibenantrieb,^{[ 20 ]} en el que la teoría de la tracción por cuerda desarrollada por Hymans se explicó con más detalle analítico, y se agregaron varios análisis e ilustraciones más. También es digno de mención que la teoría del tampón de aceite documentada por primera vez en el artículo de Hymans de 1926 para ASME [23] se publicó en este libro.

Este libro es la biblia para la teoría y la práctica de la tracción por cable y el diseño de amortiguadores de aceite en la industria mundial de los ascensores. La relación entre estos dos ingenieros era su afiliación Otis, aunque en diferentes lados del Océano Atlántico. Hymans era un ingeniero de investigación en la oficina del ingeniero jefe en las oficinas ejecutivas de Otis en Nueva York; Hellborn figuraba como gerente de ingeniería de Otis, Nueva York. La atribución geográfica adicional a Hellborn en la portada señala Estocolmo, que fue una de las principales ciudades europeas en las que Otis tenía una gran presencia comercial. Sin embargo, la ciudad no habría tenido una oficina de ingeniería, ya que todos los productos Otis diseñados para el despliegue internacional se diseñaron en Nueva York. Dado que David L. Lindquist era el ingeniero jefe de Otis, e Hymans le informaba directamente, solo se puede concluir que Hymans y Hellborn eran colegas contemporáneos con intereses académicos compartidos en el tema de tracción con cuerdas, amortiguadores, etc., pero el papel de Hellborn dentro Otis parece menos notable que los de Lindquist e Hymans.

De Hymans y Hellborn, el coeficiente de fricción aparente se define por el factor de forma de la ranura de la cuerda, G, y el coeficiente de fricción estático real, µ.

La traducción al inglés del índice del libro de los Hymans and Hellborn es la siguiente:

"I. Las características del elevador de tracción:

     A. La disposición mecánica

     B. La compensación del peso de la cuerda de suspensión.

     C. La seguridad operacional

 “II. La teoría de la transmisión de carga a través de la fricción del cable, su naturaleza y sus características:

     A. La distribución de la tensión en la cuerda por encima de la polea de tracción.

     B. El deslizamiento de la cuerda (cambio de longitud debido a la naturaleza elástica de la cuerda bajo tensión)

     C.La diferencia de tensión en las cuerdas de suspensión.

     D. Influencias estáticas y dinámicas en la relación de tensiones          

     E. La presión superficial entre la cuerda y la ranura

     F. El factor de fricción entre la cuerda y la ranura.

     G. La evaluación de los resultados teóricos

 “III. La teoría de los dispositivos amortiguadores:

     A. Cálculo del amortiguador de resorte

     B. Cálculo del tampón de aceite

 “IV. Práctica recomendada en tipificación y estandarización:

     A. La importancia esencial del rango de desempeño

     B. La configuración en serie de máquinas y motores.

     C. Ejemplos de normalización ”[20]

Hymans postuló que, donde hay una conformidad radial entre el contorno de la superficie de los cables y las ranuras de la polea de soporte, el coeficiente de fricción aparente, fa, sería mayor que el coeficiente de fricción base, µ, debido a la composición y geometría del material. de los cuerpos de apareamiento. Hymans postuló que había una relación matemática que gobernaba el valor numérico del aparente coeficiente de fricción. Esta relación lleva la ecuación de Euler Eytelwein a un nuevo nivel de precisión analítica al introducir un factor de forma de surco de cable, G, que encarna la geometría del contacto de cable a surco y la distribución de presión sinusoidal desarrollada entre el cable y el surco.

Comenzando con la derivación de la fuerza radial por unidad de longitud de cuerdas,^{[ 13 ]} Hymans matematizó la distribución de la presión del surco^{[ 14 ]} como resultado de que el cable de elevación se apoya contra la superficie de contacto de la ranura (Ver Figuras 11 y 12). A partir de esto, pudo derivar la magnitud de las presiones del surco.^{[ 14 ]} En el libro ^{[ 20 ]}, esta ilustración de surco se muestra en la Figura 35, P.57. En los manuscritos originales, el ángulo que subtiende el socavado se dio como a. En años posteriores, se volvió a designar a como la tracción disponible, y al ángulo de corte se le asignó el símbolo β.

A partir de las presiones de la ranura, Hymans determinó la reacción de la ranura por unidad de longitud de la llanta de la polea,^{[ 15 ]} a partir de la cual analizó la distribución de presión dirigida radialmente sobre las regiones de contacto cuerda-ranura, teniendo en cuenta las regiones de discontinuidad donde podría haber un socavado de ranura. [16] Una vez que se determinó la fuerza resultante que actúa radialmente desde el centro de la cuerda hasta la región de contacto en la ranura, Hymans desarrolló una función trigonométrica para el factor de forma de la ranura de la cuerda, G, que, cuando se multiplica por el coeficiente de fricción real, da como resultado un coeficiente aparente de fricción. Se expresa como:                                                                                              

donde el factor de forma de la ranura de la cuerda se encontró como:

La ecuación general para el coeficiente de fricción aparente de cables de acero que operan en ranuras de polea motriz de hierro fundido fue derivada por Hymans en la siguiente forma general basada en la sustitución de la Ecuación (10) en la Ecuación (9) para obtener el rendimiento:                                                                                             

La ecuación (11) tiene la misma forma que la mencionada anteriormente por Hymans y Hellborn. El Comité de Diseño Mecánico de ASME A17, originalmente conocido como el Comité de Diseño de Máquinas y Dispositivos de Seguridad Mecánicos A17, discutió las matemáticas de la tracción en los primeros días de A17 y optó por no incluir ecuaciones de aplicación para tracción por cable en la sección de diseño de A17, prefiriendo dejarlo en manos de los diseñadores y fabricantes como propietario. (La filosofía A17 de no defender el uso de A17 como un libro de texto de diseño todavía prevalece). Décadas más tarde, los europeos optaron por incluir una EN 81 Apéndice Sección M^{[ 21 ]} en el que las ecuaciones de Hymans y Hellborn se enumerarían como informativas. Sin embargo, los escritores de códigos EN 81 mostraron la ecuación de Hymans para el factor de forma de la ranura utilizando los ángulos complementarios. Los manuscritos de Hymans muestran el coeficiente aparente, Ecuación de Hymans (5) en la forma dada por la Ecuación (11) de este artículo.

Las hojas manuscritas de Hymans de 1920 para la derivación de la forma de la ranura de la cuerda en la fábrica se muestran en las figuras 16 y 17 con fines de contexto histórico y precisión.

Hymans estableció la carga permisible por cuerda basándose en sus análisis teóricos junto con los datos de prueba. Se ve una muestra en la Figura 18. ¡Su estilo de letras rivalizaba con el de una máquina de escribir! Con base en esto, la reformulación de Hymans de la ecuación de Euler Eytelwein aplicable a los accionamientos de elevadores de tracción se da como:

                                                                                              

El autor explica con mayor detalle las derivaciones matemáticas de los Hyman en la presentación en DVD. La ranura de la polea motriz, ilustrada en la cláusula 5.11.2.3.1.1 del Código de Seguridad EN81-S0, se muestra en la Figura 19.

Con base en la descripción de los ángulos EN 81-1, [21] el correspondiente coeficiente de fricción aparente basado en la teoría de Hymans se dio como:                                                                                              

La prueba de equivalencia de los factores de forma de la ranura entre la ecuación de Hymans utilizada en los EE. UU. Y la utilizada en el código EN 81-1 se encuentra sustituyendo la siguiente relación en la Ecuación 11:

Referencias
[1] Gibson, GW "Rope Traction: Theory and Practice", seminario, formato DVD, Elevator World, Inc. (2009).
[2] Patente alemana No. 218 (1 de agosto de 1877), Berlín.
[3] Patente de Estados Unidos Nº 206,251, “Ascensores”, Friedrich Koepe, Bochum, Prusia (23 de julio de 1878).
[4] Anuario de ingenieros de Kempe, p. K3 / 46, Koepe Winders (1988).
[5] Gray, Lee. “El ascensor de tracción: Primera parte, orígenes 1877-1891”, ELEVATOR WORLD, agosto de 2004, págs. 156-159.
[6] Lindquist, David L. “Esquema del desarrollo de elevadores”, septiembre de 1937, presentado a la Sección de Transporte de ASME (otoño de 1938).
[7] Klaw, Spencer. "Todos a salvo, caballeros, todos a salvo", American Heritage, agosto / septiembre de 1978, vol. 29, número 5, pág. 43.
[8] Gray, Lee. “El elevador de tracción: segunda parte, las primeras máquinas eléctricas 1891-1899”, EW, septiembre de 2004, p. 129-133.
[9] Patente de Estados Unidos Nº 595,874, “Elevador eléctrico”, Augustus L. Duwelius (21 de diciembre de 1897).
[10] Hymans, F. Elevadores eléctricos, Libro I, International Textbook Co., pág. 25-27 (1931 y 1941).
[11] Hymans, F. Electric Elevators, Libros I y II, republicado por Elevator World, 1992.
[12] “Otis desarrolla el diseño sin engranajes”, “Otis Bulletin, edición especial del 125º aniversario”, pág. 3 (20 de septiembre de 1978).
[13] Hymans, F. “La fuerza radial por unidad de longitud de la cuerda” (agosto de 1920).
[14] Hymans, F. "La magnitud de las presiones del surco" (agosto de 1920).
[15] Hymans, F. “The Groove Reaction per Inch of Rim” (agosto de 1920).
[16] Hymans, F. “El aparente coeficiente de fricción” (agosto de 1920).
[17] Hymans, F. “Traction” (10 de septiembre de 1920).
[18] Hymans, F. “Tracción de envoltura única” (1920).
[19] Hymans, F. “La fluencia” (1920).
[20] Hymans, F. & Hellborn, AV "Der Neuzeitliche Aufzug mit Treibscheibenantrieb" (traducido como "Ascensores modernos con
Poleas de transmisión por fricción ”), Verlag von Julius Springer, Berlín (1927).
[21] EN 81-1: 1998 Reglas de seguridad para la construcción e instalación de ascensores - Parte 1: Ascensores eléctricos, Apéndice M.
[22] EN 81-50: 2014 Reglas de seguridad para la construcción e instalación de ascensores. Exámenes y pruebas. Parte 50: Reglas de diseño, cálculos, exámenes y pruebas de componentes de ascensores.
[23] Hymans, F. “Las paradas de emergencia del elevador de tracción sin engranajes en los aterrizajes de la terminal”, ASME, Nueva York, Nueva York (6 de diciembre de 1926).