Una metodología sistemática para la generación de pasajeros de ascensor bajo un proceso de llegada por lotes de Poisson

por el Dr. Richard Peters, el Dr. Lutfi Al-Sharif, Ahmad T. Hammoudeh, Eslam Alniemi y Ahmad Salman

Este documento se presentó por primera vez en el Quinto Simposio sobre tecnologías de ascensores y escaleras mecánicas, www.liftsymposium.org.

En general, se acepta que las llegadas de pasajeros para el servicio de ascensor sigan un proceso de llegada de Poisson. Además, investigaciones recientes también han demostrado que las llegadas se realizan en lotes, en lugar de llegadas de un solo pasajero. Por estas razones, el software de simulación de tráfico de ascensores puede utilizar el proceso de llegada de lotes de Poisson para generar la hora de llegada de cada lote y el tamaño (número de pasajeros que llegan) de cada lote. Esto proporciona una mejor representación de las condiciones de la vida real y produce una simulación más realista. Se consideran modelos alternativos para generar pasajeros para paquetes de simulación de tráfico de ascensores. Se presenta una metodología para generar tiempos de llegada de lotes y el tamaño de cada lote.

Una parte importante de cualquier simulador de tráfico de ascensores es el proceso de llegada de pasajeros. Las llegadas de pasajeros representan la demanda a la que está sometido el sistema de ascensores. El modelo de llegada de pasajeros debe reflejar las características reales del proceso de llegada. Esto asegura que el resultado de la simulación sea más representativo de la realidad. En este artículo, se presentan y discuten modelos de llegada alternativos. Se propone una nueva metodología para generar llegadas de pasajeros.

Posibles modelos de generación de llegada de pasajeros

En esta sección se examinan posibles modelos con los que se pueden generar pasajeros para la simulación del tráfico de ascensores. Todos los ejemplos de esta sección asumen una tasa de llegada de pasajeros (AR), ^λ, de 0.2 pasajeros por segundo.

Tiempo constante entre llegadas

Esta es una simplificación del proceso de llegada de pasajeros. Se supone que el tiempo entre llegadas de pasajeros consecutivos es constante (es decir, determinista en lugar de aleatorio). El tiempo, en segundos, entre las llegadas de pasajeros consecutivos o el tiempo entre llegadas se puede calcular mediante:

(Ecuación 1)

En la Figura 1 se muestra una representación esquemática de las llegadas de pasajeros en función del tiempo. Como el AR es de 0.2 pasajeros por segundo, el tiempo entre llegadas es de 5 s.

Hora aleatoria entre llegadas con función de densidad de probabilidad uniforme

Este modelo asume que el tiempo entre llegadas es aleatorio. Sin embargo, contiene una simplificación del proceso de llegada de pasajeros suponiendo que la distribución del tiempo entre llegadas es una función de distribución de probabilidad uniforme (PDF). El valor del tiempo entre llegadas tiene un valor medio de ^{1 / λ} y varía entre 0 s. y el doble del valor medio ^{2 / λ}.

El valor de un tiempo de muestra entre llegadas se puede evaluar utilizando la Ecuación 2, donde Frontera es una función que genera un número aleatorio distribuido uniformemente entre 0 y 1. Esto produce la representación de las llegadas de pasajeros que se muestra en la Figura 2.

   (Ecuación 2)

Aunque este modelo ofrece una mejor representación del proceso de llegada de pasajeros al introducir llegadas de pasajeros aleatorias, asume que un pasajero debe llegar en el período de tiempo de  ^{2 / λ}, que no es necesariamente el caso, ya que podría pasar un período de tiempo mucho más largo sin que llegue un pasajero. Además, el modelo da igual probabilidad a todos los valores posibles del tiempo entre llegadas, lo que no es un reflejo exacto de la realidad.

Llegadas aleatorias de pasajeros aplicando la función de densidad de probabilidad de Poisson

El modelo de llegada de pasajeros más aceptado es el proceso de Poisson.^{[1, 3 y 4]} Esto supone que el número de pasajeros que llegan en un período de tiempo sigue una distribución de Poisson:

(Ecuación 3)

dónde  P(n) es la probabilidad de que el número de pasajeros que lleguen en el período de tiempo T es igual a n. La función de densidad de probabilidad de Poisson se ha generado y se muestra en la Figura 3 utilizando el período T de 10 s. La figura 4 muestra una representación de las llegadas de pasajeros.

Se supone que los pasajeros llegan a la mitad del período de tiempo. T (10 s.), Ya que no se define la hora real de llegada de cada pasajero. Por esta razón, esta aplicación básica del proceso de Poisson no es realista, incluso con un menor T.

Una desventaja adicional de este enfoque es que el número de pasajeros generado en el período de tiempo no corresponde necesariamente al AR. Esta inconsistencia entre la entrada del usuario y los pasajeros generados puede causar confusión a los usuarios del software de simulación de tráfico.

Tiempo aleatorio entre llegadas con función de densidad de probabilidad exponencial

La variable aleatoria en el modelo anterior de llegada de pasajeros de Poisson es el número de pasajeros que llegan en un período de tiempo, T. Un mejor enfoque es utilizar el tiempo entre llegadas como variable aleatoria. Esto se puede lograr considerando el tiempo después del cual se espera la llegada de uno o más pasajeros, 1 - P (0). Sustituyendo la Ecuación 3 se obtiene la Ecuación 4. La Figura 5 muestra una representación de las llegadas de pasajeros.

(Ecuación 4)

En cuanto al enfoque de Poisson original, el número de pasajeros generado en el período de tiempo no corresponde necesariamente al AR.

Hora de llegada aleatoria en un período de tiempo determinado

Para abordar la inconsistencia en el número de pasajeros, algunos simuladores de tráfico crean el número exacto de pasajeros requerido por el AR para el período de tiempo T. Como solo se pueden generar pasajeros completos, el redondeo hacia arriba o hacia abajo se determina utilizando un número aleatorio. Se utilizan números aleatorios para colocar a los pasajeros en la línea de tiempo. Esto logra un resultado similar al modelo anterior con una función de densidad de probabilidad exponencial (Figura 6).

Una consecuencia de este enfoque es que cuanto más largo es el período de tiempo T, más variación hay en la demanda durante ese período. Por ejemplo, si T es 5 min., Se generarían 60 pasajeros. Si T es 1 hora, se generarían 720 pasajeros; sin embargo, en los primeros 5 minutos, puede haber 58 pasajeros, y en los segundos 5 minutos, puede haber 64 pasajeros.

Consideraciones adicionales

Se ha demostrado que los pasajeros llegan en lotes,^{[ 5 ]} también conocidas como llegadas a granel.^{[ 2 ]} La función de densidad de probabilidad de los tamaños de los lotes depende de la naturaleza del edificio y la hora del día. Por lo tanto, para cada llegada de lote, hay dos parámetros a generar: el momento en el que ocurre y el tamaño del lote.

Una metodología para generar pasajeros para simulación

Resumen

La metodología de generación de pasajeros presentada en este artículo combina las características más útiles de los métodos discutidos anteriormente: la metodología asume un tiempo entre llegadas aleatorio con función de densidad de probabilidad exponencial, el número total de pasajeros es consistente con el número esperado de pasajeros, y el el tamaño del lote puede ser específico para la construcción y el tiempo.

Procedimiento

Para cada piso al que llegan los pasajeros, considere el número total de pasajeros generado, p_especie, durante el espacio de trabajo, WS. WS es el tiempo sobre el que se generan pasajeros en segundos.  ^λ se puede determinar a partir de la demanda de pasajeros, que a su vez se calcula en función de la población y el tipo de edificio.

(Ecuación 5)

Generar pasajeros para WS:

1. Calcule el número requerido de pasajeros que se generará como se muestra en la Ecuación 5. Asigne el tiempo de llegada del primer pasajero a 0 s.
2. Usando la Ecuación 4, genere los tiempos entre llegadas entre todos los pasajeros consecutivos.
3. Repita el Paso 2 hasta que el número de pasajeros generado sea uno más que el número requerido de pasajeros, p_especie + 1.
4. Descarte el último pasajero generado pero conserve su hora de llegada. Esta hora de llegada se denominará WS".
5. Es probable que el valor de  WS' es diferente del tiempo del espacio de trabajo deseado, WS. Por lo tanto, aplique un factor de corrección de contracción o estiramiento, SF = WS / WS', a todo el conjunto de tiempos de llegada. Esto asegurará que el tiempo total de generación de pasajeros sea igual a WS.

Ejemplo sin llegadas de lotes

Un edificio tiene una población, U, de 1,000 personas y un AR del 12% de la población por 5 min. en el piso que se está considerando. El valor del espacio de trabajo es de 60 s.

(Ecuación 6)

El número esperado de pasajeros que se generará en el espacio de trabajo se puede calcular como:

 (Ecuación 7)

Los tiempos de llegada de cada pasajero se muestran en la Tabla 1, columna 2. Como el número objetivo de pasajeros es 24, el número de pasajeros generado inicialmente es 25. El pasajero número 25 se descartará pero se mantendrá su hora de llegada. La columna 1 de la tabla 2 debe reducirse o estirarse de manera que lleguen exactamente 24 pasajeros en 60 s. El factor de corrección se encuentra dividiendo el espacio de trabajo deseado por el espacio de trabajo real.

(Ecuación 8)

Por lo tanto, los tiempos de llegada se ajustan multiplicándolos por SF, como se muestra en la Tabla 1, columna 3. Los tiempos de llegada originales y ajustados para los 24 pasajeros se muestran en la Figura 7, con la llegada de cada pasajero como un triángulo invertido.

Ejemplo con llegadas de lotes

Un edificio tiene una población, U, de 300 personas y un AR del 4% de la población por 5 min. en el piso se considera aquí. El valor del espacio de trabajo es de 15 min.

(Ecuación 9)

Usando el valor del AR anterior, el número esperado de pasajeros que se generará en el espacio de trabajo se puede encontrar como:

(Ecuación 10)

La función de densidad de probabilidad que se utilizará para la generación de los tamaños de lote, basada en Kuusinen, et al., [5] se da en la Tabla 2.

El tamaño de lote promedio se puede calcular a partir del PDF como se muestra a continuación:

(Ecuación 11)

Para tener en cuenta los tamaños de lote promedio, calcule el AR del lote, λ_b , en lotes por segundo:

(Ecuación 12)

Usando el AR para los lotes que se encuentran en la Ecuación 12, se pueden generar los tiempos de llegada de los lotes. Estos se muestran en la Tabla 3 junto con los tamaños de lote. Los tamaños de lote se generan aleatoriamente utilizando el PDF de tamaño de lote que se muestra en la Tabla 2.

El 20º lote se descarta, pero se retiene su hora de llegada. Los datos de la Tabla 3 deben reducirse o estirarse de manera que lleguen exactamente 36 pasajeros en 15 minutos. El factor de corrección se encuentra dividiendo el espacio de trabajo deseado por el espacio de trabajo real.

(Ecuación 13)

Los tiempos de llegada se ajustan multiplicándolos por SF como se muestra en la Tabla 3, columna 3. Cabe señalar que los tamaños iniciales de los lotes no se modifican. La suma de los pasajeros que llegan en 15 min. es de 36 pasajeros, según sea necesario.

Conclusiones

Se han presentado modelos alternativos para generar pasajeros para paquetes de simulación de tráfico de ascensores. El primer modelo asume una AR de pasajeros constante, donde el tiempo entre llegadas de pasajeros es determinista y constante. Este modelo no es representativo de la realidad, ya que se sabe que los pasajeros llegan de forma aleatoria. Sin embargo, se puede utilizar para verificar el valor del tiempo de ida y vuelta calculado. El segundo modelo asume una función de densidad de probabilidad uniforme (rectangular), donde el tiempo entre llegadas de los pasajeros varía aleatoriamente entre 0 y  ^{2 / λ} s. Se asume que un pasajero debe llegar, como máximo, cada  ^{2 / λ} s. y da igual probabilidad a todos los valores de tiempo entre llegadas entre 0 y  ^{2 / λ} s. Ninguno de estos supuestos refleja la realidad.      

 

El tercer modelo asume que el número de pasajeros, n, que llegan en un período de tiempo T sigue un proceso de Poisson. Se supone que los pasajeros llegan a la mitad del período de tiempo. T, ya que no se define la hora real de llegada de cada pasajero. Esto no es realista, incluso con un menor T. El cuarto modelo modifica Poisson para permitir definir tiempos exactos de llegada. Esto es más realista; sin embargo, la naturaleza aleatoria de las llegadas significa que los pasajeros generados en el período de tiempo no necesariamente corresponden al AR.

Otro enfoque crea un proceso de llegada similar al de Poisson, pero genera el número exacto de pasajeros que se espera. Se da más consideración a la investigación que propone que las personas lleguen en lotes. La metodología también muestra cómo garantizar la coherencia entre el número real de pasajeros generado en el espacio de trabajo y el número real de pasajeros previstos mediante el uso de un factor de corrección, SF.

Más trabajo

Se ha realizado una prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov con datos de encuestas de la vida real para confirmar que el modelo que asume un tiempo entre llegadas aleatorio con función de densidad de probabilidad exponencial no puede rechazarse. Se proporcionará una discusión sobre la determinación de los destinos de los pasajeros. Se incluirán métodos alternativos de generación de pasajeros en el software de simulación de tráfico y se realizará una evaluación del impacto en diseños de ejemplo. Este trabajo se publicará en futuros trabajos y / o artículos. También debe tenerse en cuenta la implicación de los torniquetes en la entrada al edificio o al vestíbulo del ascensor.

Referencias
[1] NA Alexandris, Modelos estadísticos en sistemas de elevación, Tesis doctoral, Universidad de Manchester, Instituto de Ciencia y Tecnología, 1977.
[2] Norman TJ Bailey, “Sobre procesos de cola con servicio a granel”, Revista de la Royal Statistical Society, Serie B (Metodológica), vol. 16, núm. 1 (1954), pág. 80-87.
[3] GC Barney, Manual de tráfico de ascensores, Taylor & Francis, 2003.
[4] NA Alexandris y GC Barney, "Three Buildings Surveyed", Instituto de Ciencia y Tecnología de la Universidad de Manchester (UMIST), Informe del Centro de Sistemas de Control número 350, 1976.
[5] JM Kuusinen, J. Sorsa, ML Siikonen y H. Ehtamo, "Un estudio sobre el proceso de llegada de pasajeros en ascensor en un edificio de oficinas de varios pisos", BUILDING SERV ENG RES TECHNOL, publicado en línea antes de su impresión el 10 de noviembre, 2011, doi: 10.1177 / 0143624411427459, noviembre de 2012 Vol. 33 núm. 4, pág. 437-449.