自动扶梯的庞加莱空间图和阶段计划图的构建，第 1 部分

您的作者注意到对智能步骤数据的分形集性质的确认。

在这项研究中，庞加莱空间图和相位平面图（庞加莱部分）是根据在空载自动扶梯（无载客）中运行智能台阶所获得的测量数据的轨迹构建的。 构建的地图证实了我们之前的发现，即来自智能步骤的数据具有分形集的性质。 轨迹/吸引器可以被描述为具有不同大小的闭合半椭圆环形状的周期性，因为智能台阶在自动扶梯中完成单次运行/循环。 循环的大小随着变量协调运行的进展而变大，然后当它们返回到它们的原始位置时，它们又变回小尺寸。 地图还以小循环的形状显示了运行中间和末端的阻尼效果。 图中的数据表明了测量参数行为的线性关系。 Poincare 空间图和相平面图的构建证实了来自智能步骤的数据具有分形集行为。 它们还表明了自动扶梯中变量行为的确定性或混乱程度。 在根据维护计划对自动扶梯进行分类和分类时，这可能是一个非常有用的概念。

介绍

机械系统的设计基于利用各种工程参数之间的线性关系，^[1] 例如应力与应变、摩擦力与温度等。工程师使用这些关系来构建机器和结构，但就像在任何复杂的机器中一样，例如自动扶梯，这些关系在内部相互关联； 因此，事实是这些线性关系在有限程度上起作用。 在像自动扶梯这样的机械系统中，组件和组件相互相互作用，产生摩擦力、振动效应/力和热量，从而增加温度，导致系统以非线性方式或适当的混沌方式运行。 这种行为可以在混沌理论中涵盖，^[2] 这就是我们在这项工作中所做的。

机械或电气系统的混沌运动分类为：

1. 平衡
2. 周期性运动或极限循环
3. 准周期^[1]

非线性（混沌）系统的行为和模式可以通过将系统中参数和变量的行为绘制在二维或三维图上来研究，如二维相平面图和三维庞加莱图。 参数和变量的行为以轨迹线表示。^[3]

上述三类中任何一类的相平面图中的表示线称为吸引子。 有一个新的第四个吸引子，称为奇异吸引子。 它是混乱的（不可预测的），尤其是当绘制参数的初始条件存在很小的不确定性时。 奇异吸引子也可以称为分形集。^[4]

平衡态用相平面中的一个点表示，周期运动或有限循环用闭合曲线/环表示，准周期运动用三维相空间中的一个面表示。 奇怪吸引子的分形集看起来像是无限组的薄片或平行表面的集合，其中一些被接近无穷小尺度的距离分开。^[4]

分形集，或称奇异吸引子，可以用数学模型（方程）来描述，它可以作为一种语言来描述系统的特征和行为。 该模型应通过实验进行认可，以记录其行为并量化其某些参数。 数学模型可以采用以下三种形式之一：

1. 微分方程（或流）
2. 差分方程（称为映射）
3. 符号动态方程

术语“流动”是指源自初始条件的相空间中的一束轨迹。 粒子在地图或空间中的一条线上的连续时间历史是工程振动流中最常见的例子。^[1，5，6]

在地图或空间中与吸引子线相交的部分称为庞加莱部分或相平面图。 3D 协调设置中的一组这些部分也可以称为庞加莱地图。 庞加莱映射用于区分各种定性的运动状态，例如周期性、准周期性或混沌。^[1]

庞加莱图是通过测量动态变量构建的。 例如，在 n 状态变量问题中，当第 n 个变量达到某个特定值时，或者当相空间轨迹穿过平面相中的某个任意平面时，可以通过测量 n-1 个变量来获得 Poincare 截面。 如果知道该平面两次穿透之间的时间历史，就可以通过给定的函数将 tn+1 处的位置与 tn 处的位置联系起来。^[6，7，8]

智能步数测量

为在新近全面翻新的自动扶梯上运行而打造的智能台阶。^[9] 八个应变计安装在步骤的不同位置，如图 1 所示。在进行有限元分析或 FEA（对步骤的 3D 模型进行模拟）后，应变片位于步骤中的关键位置。 根据 BS EN 115 标准中的建议，通过进行轴向、扭转和链条差异测试来加载台阶。

构建地图

智能步骤中的应变计仅测量一个变量（应变或应力）随时间变化。^{[9 10]} 自动扶梯等机器非线性行为的庞加莱空间图和相平面图将使用我们在之前出版物中发表的轨迹构建。^{[10 11]} Poincare 空间映射将使用伪相位计划方法（也称为嵌入空间方法）构建。 对于带测量的单自由度系统 设, 绘制信号与自身的关系，但延迟或提前了一个固定的时间常数 [x(t), x(t+T)]。 这个想法是信号 x(t+T) 与 x`(t) 相关，并且应该具有类似于经典相位规划 [x(t), x`(t)] 中的特性。 如果运动是混乱的，则轨迹不会闭合。

当状态变量大于三个（位置、速度、时间或力相位）时，可以使用多个延迟构建更高维的伪相空间轨迹。 例如，可以使用具有分量 [x(t), x(t+T), x(t+2T)] 的向量构建三维空间。^[1]

结果与讨论

我们在之前的研究中获得的数据轨迹^{[10 11]} 已经在这项工作中使用。 在一项研究中，^[11] 我们评估了分形维数， Df, 来自八个应变计的每条轨迹。 评估证明，这些轨迹具有分形特征，它们可以与其他机器测量变量相关联，例如机器运行期间产生的最大和平均应力值。

在这项研究中，庞加莱空间图和相平面图的概念已被用于证明和确认可以从智能步骤等设备获得的数据的分形集能力。

图 2 显示了智能步骤中仪表的 3 条迹线数据的相平面图。 迹线显示了密集的重复循环，随着测量时间段的进展而发展为全开循环。 数据表明图形参数之间具有线性关系的分形外观。 当我们为 1 号应变仪绘制庞加莱形状平面图时，图 3 再次证实了这一点。数据在空间中具有对角线布局，证实了测量的分形性质。 重要的是要注意确定性系统中的混沌是敏感的并且取决于系统的初始条件。 这意味着系统的轨迹开始时在相空间中彼此靠近，然后系统平均在短时间内以指数方式远离彼此。 这在我们在图 1 中看到的可能是正确的； 然而，XNUMX号应变仪的拖拉机将被仔细研究。

1 号应变仪的数据轨迹已在图 4 中分阶段绘制，以显示在整个实验运行时间内环路的形成和进展方式。 小回路的形成如图 4a 所示，吸引子从 A 点移动到 B 点。经过 B 点后开始形成密集回路，如图 4b 所示，导致更大更长的回路到达图 C 点4c，然后到点 D 在图 4d。 然后，吸引子的路径将闭合，最终形成如图 3 所示的形状。

尽管图 2、3 和 4 中的绘图显示为 2D 绘图，但在图 5 和 6 中，我们绘制了来自 1 号应变仪的数据及其吸引子路径的 3D 示意图。 图 6 显示了所涉及的吸引子圆锥形状与庞加莱截面之间的拟议交集。

结论

本研究再次确认了分形的嵌入特性，该数据集是通过在卸载的自动扶梯中运行智能步骤而获得的。 这项研究是支持我们之前发现的进一步证据。^[11] 相平面图和庞加莱空间图中的数据吸引子的线性分形关系已经建立并得到证实。 数据是混乱的，但具有确定性，因为它们具有闭环（周期性）。 来自智能台阶应变计的信号具有带有已显示阻尼效应的吸引子的路径，尤其是在运行期间的中间区域。 这些吸引子的形状表明它们可以是稳定极限循环类型，即可以吸引所有相邻运动的稳定闭合振荡。 图 2、3、4 和 5 中的振荡（在图 6 中示意性表示）表明小幅度的轨迹向外移动，同时确保大幅度的轨迹向内移动。 吸引子不进入原点 (0,0)，因为它们不稳定。^[1]

我们在这项研究中的观察结果与 Abarbael 和 Lall 报告的观察结果之间有一个有趣的相似之处^[15] 当他们监测和测量大盐湖水量的变化时（图 7）。 它们是具有不同变量的完全不同的系统，但它们的行为方式相似。

我们可以认为可以表示图 2、3、4 和 5 中的振荡的方程是：

x`` + kx` + x`3 + kx = B Cos(t)

x`` = 加速度

x` = 速度

c 和 B = 常数

x = 位移

上述方程可能是开发数学模型以描述自动扶梯等机械系统的非线性行为的基石。

已经有很多实验作品，^{[12，13，14]} 这已经证明，对于物理系统的给定周期性强迫输入，可以存在大范围的周期性和次谐波运动，并且可以使用非线性分析的经典方法进行预测。 然而，这些例子也表明，混沌并不是一个单一的事件； 也就是说，它可以在很宽的范围内存在。 最重要的是，有些区域可以同时存在周期性运动和混沌运动，并且产生的精确运动可能无法预测。 图 2、3、4 和 5 中的数据分布并未表明测量中存在混乱的不可预测行为。 该领域的进一步工作可能会揭示自动扶梯等机械系统变得混乱的一套标准和条件。 定义这些限制将对自动扶梯维护计划和维护制度产生巨大影响。 编译和使用自动扶梯行为的数学模型作为类比或范式也将很有用。

案例

[1] “混沌振动”，Francis C Moon，2004 年。

[2] “介绍性评论”，混沌系统中的维度和熵，G. Mayer-Kress，Springer-Verlag，柏林。

[3] “频率去乘法”，Nature 120 (3019), 363-364。

[4] “非线性动力学和混沌”，JMT Thompson 和 HB Stewart，1987 年。

[5] “为生命科学而简化的分形和混沌”，Larry S. Liebovitch，1998 年。

[6] “复杂性：导览”，Melanie Mitchell，2009 年。

[7] “一维映射的符号动力学：熵、有限前体和噪声”，Crutchfield, JP 和 Packard, NH, Int。 J. 理论。 博士，21（6/7），433-465。

[8] “元胞自动机的理论与应用”，Wolfram, S.，世界科学出版社，新加坡。

[9] “Tube Lines Gets Smart to Monitor Escalator Wear”，A. Albadri，Computer Weekly.com，07/01/2008。

[10] “测量自动扶梯心跳”，A. Albadri，电梯，即将出版。

[11] “Escalator Fractal Behavior”，A. Albadri，电梯，即将出版。

[12] “同宿轨道作为磁摆中混沌前兆的证据”，Moon, FC, Cusumano, J. 和 Holmes, PJ, Physica D, 1987。

[13] “弹性系统中奇异吸引子振动的实验模型”，Moon, FC 和 Holmes, PJ，在动力学非线性问题的新方法中，PJ Holmes，第 487-495 页，1980b。

[14] “受驱动的 Toda 振荡器中的周期加倍和混沌行为”，Klinker, T.、Meyer-Ilse, X. 和 Lauterborn, W., Phys. 莱特。 A 101(8), 371-375, 1984。

[15] “大盐湖的非线性动力学”，Abarbanel, HD 和 Hall, U.，1996 年，系统识别和预测，气候动力学，12, 287-97。