Costruzione della mappa spaziale di Poincaré e della mappa del piano di fase per le scale mobili, parte 1

Il tuo autore prende nota della conferma della natura dell'insieme frattale dei dati del passaggio intelligente.

In questo studio, la mappa spaziale di Poincaré e la mappa del piano di fase (sezione di Poincaré) sono costruite dalle tracce dei dati misurati ottenuti dall'esecuzione del gradino intelligente in una scala mobile scarica (senza carico di passeggeri). Le mappe costruite hanno confermato la nostra precedente scoperta che i dati dello smart step hanno una natura di insieme frattale. Le tracce/attrattori possono essere descritte come periodiche in forme ad anello chiuse, semiellittiche, che hanno dimensioni diverse, poiché il gradino intelligente completa una singola corsa/giro nella scala mobile. Le dimensioni dei loop diventano più grandi con la progressione nella corsa lungo la coordinazione delle variabili, quindi tornano a piccole dimensioni mentre tornano alla loro posizione di origine. Le mappe mostrano anche l'effetto di smorzamento, a metà e alla fine della corsa, sotto forma di piccoli anelli. I dati nelle mappe danno un'indicazione di una relazione lineare nel comportamento dei parametri misurati. Le costruzioni della mappa spaziale di Poincaré e della mappa del piano di fase confermano che i dati dello smart step hanno un comportamento frattale. Suggeriscono anche quanto siano deterministici o caotici il comportamento delle variabili nella scala mobile. Questo potrebbe essere un concetto molto utile per classificare e categorizzare le scale mobili rispetto ai loro programmi di manutenzione.

Introduzione

I progetti di sistemi meccanici si basano sull'utilizzo di relazioni lineari tra vari parametri ingegneristici,^[1] come lo stress contro la deformazione, la forza di attrito contro la temperatura, ecc. Gli ingegneri usano queste relazioni per costruire macchine e strutture, ma come in qualsiasi macchina complicata, come una scala mobile, queste relazioni sono interconnesse tra loro all'interno; quindi, la verità è che queste relazioni lineari funzionano in misura limitata. In un sistema meccanico come una scala mobile, componenti e sottoassiemi interagiscono tra loro, generando forze di attrito, effetti/forze di vibrazione e calore, che aumentano la temperatura, facendo sì che il sistema si comporti in modo non lineare o propriamente caotico. Questo comportamento potrebbe essere trattato nella teoria del caos,^[2] che è ciò che stiamo facendo in questo lavoro.

I moti caotici dei sistemi meccanici o elettrici sono classificati come:

1. equilibrio
2. Movimento periodico o ciclo limite
3. quasi periodico^[1]

Il comportamento e il modello di un sistema non lineare (caotico) possono essere studiati tracciando i comportamenti di parametri e variabili nel sistema su mappe a due o tre dimensioni, come la mappa del piano di fase bidimensionale e la mappa tridimensionale di Poincaré. I comportamenti di parametri e variabili sono rappresentati in linee di traiettorie.^[3]

Le linee di rappresentazione nella mappa del piano di fase di una qualsiasi delle tre classi precedenti sono chiamate attrattori. C'è un nuovo, quarto attrattore, chiamato l'attrattore strano. È caotico (imprevedibile), specialmente quando c'è una piccola incertezza nelle condizioni iniziali dei parametri tracciati. Lo strano attrattore può anche essere chiamato insieme frattale.^[4]

Lo stato di equilibrio è rappresentato come un punto nel piano delle fasi, mentre il moto periodico o ciclo limitato è rappresentato con una curva/anello chiuso e il moto quasiperiodico è rappresentato come una superficie in uno spazio delle fasi tridimensionale. L'insieme frattale di uno strano attrattore si presenta come un insieme di insiemi infiniti di fogli o superfici parallele, alcune delle quali sono separate da distanze che si avvicinano alla scala infinitesimale.^[4]

L'insieme frattale, o attrattore strano, può essere descritto in un modello matematico (equazione), che può essere utilizzato come linguaggio per descrivere le caratteristiche e il comportamento del sistema. Il modello deve essere approvato con un esperimento per registrarne il comportamento e quantificare alcuni dei suoi parametri. I modelli matematici possono assumere una delle tre forme seguenti:

1. Equazione differenziale (o flusso)
2. Equazione alle differenze (chiamata mappe)
3. Equazioni dinamiche dei simboli

Il termine "flusso" si riferisce a un fascio di traiettorie nello spazio delle fasi originato dalle condizioni iniziali. La storia temporale continua di una particella su una linea nella mappa o nello spazio è l'esempio più familiare di un flusso a quelli delle vibrazioni ingegneristiche.^{[1, 5, 6]}

Le sezioni che intersecano le linee degli attrattori nella mappa o nello spazio sono chiamate sezioni di Poincaré o mappe del piano di fase. Un gruppo di queste sezioni in un ambiente di coordinamento 3D può anche essere chiamato mappe di Poincaré. La mappa di Poincaré viene utilizzata per distinguere tra vari stati qualitativi di moto, come periodico, quasiperiodico o caotico.^[1]

Una mappa di Poincaré viene costruita misurando le variabili dinamiche. Ad esempio, in un problema con variabili di stato n, si può ottenere una sezione di Poincaré misurando le variabili n-1 quando la variabile n-esima raggiunge un valore particolare, o quando le traiettorie dello spazio delle fasi attraversano un piano arbitrario nella fase piana. Se si conosce la storia temporale tra due penetrazioni di questo piano, si può mettere in relazione la posizione in tn+1 con quella in tn tramite determinate funzioni.^{[6, 7, 8]}

Misurazioni intelligenti del passo

È stato costruito un gradino intelligente per l'esecuzione in una scala mobile completamente rinnovata.^[9] Otto estensimetri sono stati montati in punti diversi della fase, come mostrato nella Figura 1. Gli indicatori sono stati posizionati in punti critici nella fase dopo aver condotto l'analisi agli elementi finiti, o FEA, una simulazione su un modello 3D per la fase. Il gradino è stato caricato eseguendo prove assiali, torsionali e differenziali della catena, secondo le raccomandazioni della norma BS EN 115.

Costruire la mappa

Gli estensimetri nello smart step misurano solo una variabile (deformazioni o sollecitazioni) rispetto al tempo.^{[9, 10]} La mappa spaziale di Poincaré e la mappa del piano di fase per il comportamento non lineare di una macchina come una scala mobile saranno costruite utilizzando le tracce che abbiamo pubblicato nelle nostre precedenti pubblicazioni.^{[10, 11]} La mappa spaziale di Poincaré sarà costruita utilizzando il metodo del piano pseudo-fase (chiamato anche metodo dello spazio di immersione). Per un sistema a un grado di libertà con misurazione x (t), si traccia il segnale rispetto a se stesso ma ritardato o anticipato di una costante di tempo fissa [x(t), x(t+T)]. L'idea è che il segnale x(t+T) sia correlato a x`(t) e dovrebbe avere una proprietà simile a quelle del classico piano delle fasi [x(t), x`(t)]. Se il movimento è caotico, le traiettorie non si chiudono.

Quando le variabili di stato sono maggiori di tre (posizione, velocità, tempo o fase di forza), le traiettorie dello pseudo-spazio delle fasi a dimensione superiore possono essere costruite utilizzando ritardi multipli. Ad esempio, uno spazio tridimensionale può essere costruito utilizzando un vettore con componenti [x(t), x(t+T), x(t+2T)].^[1]

Risultati e discussione

Le tracce dei dati che abbiamo ottenuto nei nostri studi precedenti^{[10, 11]} sono stati utilizzati in questo lavoro. In uno studio,^[11] abbiamo valutato la dimensione frattale, Df, di ogni traccia degli otto estensimetri. La valutazione ha dimostrato che queste tracce hanno caratteristiche frattali e possono essere correlate ad altre variabili misurate dalla macchina, come i valori di sollecitazione massima e media generati durante il funzionamento della macchina.

In questo studio, il concetto di mappa spaziale di Poincaré e la mappa del piano di fase sono stati utilizzati per dimostrare e confermare la capacità dell'insieme frattale dei dati che possono essere ottenuti da un dispositivo come lo smart step.

La Figura 2 mostra la mappa del piano di fase per i dati delle nove tracce dagli indicatori nel passo intelligente. Le tracce mostrano densi loop ripetitivi con progressione a loop aperti man mano che il periodo di tempo avanza nelle misurazioni. I dati suggeriscono un aspetto frattale con una relazione lineare tra i parametri del grafico. Ciò è stato nuovamente confermato nella Figura 3 quando abbiamo tracciato una mappa planimetrica di forma di Poincaré per l'estensimetro n. 1. I dati hanno una disposizione diagonale nello spazio, confermando la natura frattale delle misurazioni. È importante notare che il caos nei sistemi deterministici è sensibile e dipende dalle condizioni iniziali del sistema. Ciò implica che la traiettoria dei sistemi inizia vicini l'uno all'altro nello spazio delle fasi, quindi i sistemi si allontanano esponenzialmente l'uno dall'altro per tempi piccoli, in media. Questo potrebbe essere vero in ciò che vediamo nella Figura 3; tuttavia, il trattore per estensimetro n. 1 sarà studiato da vicino.

Le tracce dei dati per l'estensimetro n. 1 sono state tracciate in fasi nella Figura 4 per mostrare il modo in cui i loop si formano e progrediscono durante il tempo di esecuzione dell'esperimento. La formazione di piccoli loop può essere vista in Figura 4a, con l'attrattore che si sposta dal punto A al punto B. I loop densi iniziano a formarsi dopo aver superato il punto B, come mostrato nella Figura 4b, portando a loop più grandi e più lunghi fino al punto C in Figura 4c, quindi al punto D in Figura 4d. Quindi, il percorso dell'attrattore verrà chiuso per finire con una forma come quella mostrata in Figura 3.

Sebbene i grafici nelle Figure 2, 3 e 4 siano mostrati come grafici 2D, nelle Figure 5 e 6, abbiamo tracciato i dati dall'estensimetro n. 1 e una rappresentazione schematica 3D del percorso del suo attrattore. La Figura 6 mostra una proposta di intersezione tra la forma conica coinvolta dell'attrattore e la sezione Poincaré.

Conclusioni

La natura incorporata dell'essere frattale è stata riconfermata in questo studio per l'insieme di dati, che era stato ottenuto dall'esecuzione del passaggio intelligente in una scala mobile scarica. Questo studio è un'ulteriore prova a sostegno dei nostri risultati precedenti.^[11] La relazione frattale lineare negli attrattori di dati nella mappa del piano di fase e nella mappa spaziale di Poincaré è stata stabilita e confermata. I dati sono caotici ma in modo deterministico, perché hanno anelli ravvicinati (periodici). I segnali degli estensimetri dello smart step hanno percorsi con attrattori che hanno mostrato un effetto smorzante, soprattutto nella regione centrale per il periodo di marcia. La forma di questi attrattori suggerisce che possono essere del tipo a ciclo stabile, vale a dire un'oscillazione chiusa costante che potrebbe attrarre tutti i movimenti adiacenti. Le oscillazioni delle figure 2, 3, 4 e 5, schematicamente rappresentate in figura 6, mostrano che le traiettorie di piccola ampiezza si spostano verso l'esterno assicurando allo stesso tempo che le traiettorie di grande ampiezza si muovano verso l'interno. Gli attrattori non entrano nell'origine (0,0), perché sono instabili.^[1]

C'è un'interessante somiglianza tra la nostra osservazione in questo studio e quella riportata da Abarbael e Lall^[15] quando hanno monitorato e misurato le variazioni del volume d'acqua nel Gran Lago Salato (Figura 7). Sono sistemi totalmente diversi con variabili diverse, eppure si comportano in modo simile.

Potremmo pensare che l'equazione che potrebbe rappresentare le oscillazioni nelle Figure 2, 3, 4 e 5 sia:

x`` + kx` + x`3 + kx = B Cos(t)

x`` = accelerazione

x` = velocità

c e B = costanti

x = spostamento

L'equazione di cui sopra potrebbe essere la chiave di volta nello sviluppo di un modello matematico per descrivere il comportamento non lineare di un sistema meccanico come una scala mobile.

Ci sono stati molti lavori sperimentali,^{[12, 13, 14]} che hanno dimostrato che, per un dato input di forzatura periodica a un sistema fisico, potrebbero esistere vaste regioni di moto periodico e sub-armonico ed essere prevedibili utilizzando metodi classici di analisi non lineare. Tuttavia, questi esempi mostrano anche che il caos non è un avvenimento singolare; cioè, può esistere per ampi intervalli. Ancora più importante, ci sono regioni in cui possono esistere movimenti sia periodici che caotici e il movimento preciso che ne risulterà potrebbe essere imprevedibile. La distribuzione dei dati nelle Figure 2, 3, 4 e 5 non dà indicazione di un comportamento caotico imprevedibile nelle misurazioni. Ulteriori lavori in quest'area potrebbero svelare l'insieme di criteri e condizioni affinché un sistema meccanico come una scala mobile diventi caotico. La definizione di questi limiti avrà enormi implicazioni sui programmi di manutenzione delle scale mobili e sui regimi di manutenzione. Sarà utile anche compilare e utilizzare un modello matematico per il comportamento della scala mobile come analogia o paradigma.

Referenze

[1] "Vibrazione caotica", Francis C Moon, 2004.

[2] "Osservazioni introduttive", in Dimensioni ed entropie nei sistemi caotici, G. Mayer-Kress, Springer-Verlag, Berlino.

[3] "Demoltiplicazione della frequenza", Nature 120 (3019), 363-364.

[4] "Dinamica non lineare e caos", JMT Thompson e HB Stewart, 1987.

[5] "Frattale e caos semplificati per le scienze della vita", Larry S. Liebovitch, 1998.

[6] "Complessità: una visita guidata", Melanie Mitchell, 2009.

[7] "Dinamica simbolica delle mappe unidimensionali: entropie, precursori finiti e rumore", Crutchfield, JP e Packard, NH, Int. J. Theor. Phs., 21(6/7), 433-465.

[8] "Teoria e applicazioni degli automi cellulari", Wolfram, S., World Scientific Publ., Singapore.

[9] "Le linee di tubi diventano intelligenti per monitorare l'usura delle scale mobili", A. Albadri, Computer Weekly.com, 07/01/2008.

[10] "Misurazione del battito cardiaco delle scale mobili", A. Albadri, Ascensori, di prossima pubblicazione.

[11] "Comportamento frattale delle scale mobili", A. Albadri, Ascensori, di prossima pubblicazione.

[12] "Evidence of Homoclinic Orbits as Precursor to Chaos in a Magnetic Pendulum", Moon, FC, Cusumano, J. e Holmes, PJ, Physica D, 1987.

[13] "Modelli sperimentali per vibrazioni di attrattori strani nei sistemi elastici", Moon, FC e Holmes, PJ, in New Approaches to Nonlinear Problems in Dynamics, PJ Holmes, pp. 487-495, 1980b.

[14] "Raddoppio del periodo e comportamento caotico in un oscillatore Toda guidato", Klinker, T., Meyer-Ilse, X. e Lauterborn, W., Phys. Lett. A 101(8), 371-375, 1984.

[15] "Dinamica non lineare del Gran Lago Salato", Abarbanel, HD, e Hall, U., 1996, identificazione e predicazione del sistema, Climate Dynamics, 12, 287-97.