Dinamica della corda

Questo studio esplora come sorgono le vibrazioni transitorie e perché si verificano le vibrazioni della corda.

di Phil Andrew, MSc, MPhil e Stefan Kaczmarczyk, PhD

Le vibrazioni della fune in un sistema di ascensori di solito si traducono in una qualità della corsa inaccettabile. Un fenomeno ben noto è la vibrazione "transitoria", che si verifica in un punto specifico della corsa dell'ascensore, solitamente vicino ai piani superiori, e può essere estremamente difficile da eliminare. Cercheremo di dimostrare che le oscillazioni nel sistema di funi possono essere considerate "rapide" rispetto alla velocità nominale dell'ascensore (anche per ascensori "ad alta velocità" valutati a 12 mps [2400 fpm] o più). Mostreremo come, ai fini dell'analisi del comportamento dinamico del sistema di funi, un ascensore in movimento possa essere considerato “quasi fermo”.

Il Principio di Hamilton e la meccanica classica verranno utilizzati per derivare le equazioni dinamiche che descrivono l'oscillazione delle funi. Verranno presentate le risultanti equazioni alle derivate parziali per spiegare come le oscillazioni laterali e longitudinali nel sistema di sospensione risultino incrociate, in modo che un'oscillazione laterale delle funi possa avviare vibrazioni longitudinali e viceversa. Infine, lavoreremo attraverso un esempio per mostrare come le vibrazioni transitorie possono sorgere in particolari punti della corsa dell'ascensore ed evidenziare perché tale oscillazione e vibrazione della fune è così difficile da eliminare, ed esamineremo brevemente alcune delle soluzioni al problema che sono state proposto in passato.

Dinamica del sistema di sospensione

Ci sono probabilmente pochissimi ingegneri di ascensori che non si sono trovati di fronte a un sistema di ascensori che mostra vibrazioni indesiderate in una forma o nell'altra. Le cause alla base delle vibrazioni in un sistema di ascensori sono molteplici, tra cui giunti delle guide di scorrimento mal allineati, pulegge e pulegge eccentriche, risonanza sistematica nel sistema di controllo elettronico e vibrazioni generate da ingranaggi e motori.

In molti casi, un ascensore non vibrerà durante il suo viaggio, ma "attraverserà" una vibrazione risonante in una particolare fase del viaggio. Molto spesso, questa fase di vibrazione si verifica in corrispondenza o in prossimità del piano più alto, poiché le funi di sospensione si accorciano. La figura 1 indica il tipo di fenomeno che potrebbe verificarsi.

Tuttavia, qualunque sia la causa alla base della vibrazione, in quasi tutti i casi, la vibrazione ecciterà una vibrazione associata nelle funi, siano esse le funi di sospensione o le funi di compensazione. La vibrazione viene così accoppiata all'auto con conseguente deterioramento della qualità di marcia. Il termine "vibrazione" ha connotazioni colloquiali di frequenza relativamente alta e può creare confusione se intendiamo includere "oscillazione della corda" nella discussione. Di conseguenza, utilizzeremo il termine "oscillazione" piuttosto che "vibrazione", poiché questo termine ha un contesto colloquiale di una gamma di frequenze più ampia.

Partiamo da un semplice modello. Considera le funi di sospensione e compensazione di un ascensore fisso. Come abbiamo discusso, la sospensione sarà allungata elasticamente dalla massa dell'ascensore e dal suo carico. In direzione verticale, la cabina dell'ascensore è libera di muoversi e può oscillare sulla “molla” delle funi di sospensione come mostrato in Figura 2(a). Indicheremo le oscillazioni in direzione verticale con la variabile u, che indica lo spostamento verticale dalla posizione di riposo, ˙u che indica la velocità verticale dell'oscillazione della cabina dell'ascensore (cioè, non la sua velocità di viaggio attraverso il vano corsa) e ü che indica la verticale accelerazione associata all'oscillazione.

Poiché la cabina dell'ascensore è trattenuta nelle guide e non può muoversi liberamente in direzione orizzontale, le oscillazioni laterali delle funi di sospensione sono vincolate a ciascuna estremità. Le oscillazioni sono vincolate in modo simile (sebbene non del tutto identico) a una corda di chitarra o violino (Figura 2 (b)

e C)). Tuttavia, la fune può oscillare in qualsiasi direzione orizzontale. Per generalizzare il più possibile il discorso, risolveremo le oscillazioni laterali in spostamenti ortogonali, v, v˙ e ¨v indicanti il ​​moto nel piano delle guide (in piano), e w,˙w e ¨ ortogonale al piano delle guide (fuori piano).

Quindi, se le funi oscillano in una direzione x con un certo angolo q rispetto al piano delle guide, allora i movimenti nel piano e fuori piano saranno

v = x cosƟ, v˙ = x˙ cosƟ e v¨ = x¨ cosƟ

nel piano delle guide, e

w = x sinƟ, w˙ = x˙ sinƟ e w¨ = x¨ sinƟ nel piano ortogonale.

Naturalmente, potremmo avere una situazione in cui le funi "ruotano" nelle loro oscillazioni; nel qual caso l'angolo Ɵ sarà esso stesso una funzione del tempo, cioè Ɵ = Ɵ (t).

La natura degli attuali materiali delle funi di sospensione è tale che lo smorzamento di qualsiasi vibrazione della fune è piuttosto ridotto.

Un'analisi dell'oscillazione della fune basata sulla meccanica elementare potrebbe indicare che se M è la massa sospesa totale (kg) (esclusa la massa delle funi di sospensione) e k è la rigidità delle funi (N/m), allora in verticale piano, avremmo una potenziale frequenza di oscillazione “naturale” o “risonante”:

Anche se teniamo conto della massa delle funi di sospensione, il semplice modello sopra non riflette la situazione reale. In pratica vi saranno frequenze armoniche aggiuntive che possono portare a fenomeni evidenti al passeggero.

Nella direzione laterale, potremmo aspettarci frequenze di oscillazione

dove L è la lunghezza della fune di sospensione, n_SR è il numero di funi di sospensione e m_SR è la massa/m della fune di sospensione, notando ancora una volta che Mg_n, l'equazione per la tensione della fune, non include la massa della fune di sospensione stessa. Con l'oscillazione laterale, anche una semplice analisi indica che le frequenze armoniche sono possibili.

Sebbene questo ci dia un'idea intuitiva di ciò che potremmo aspettarci, la situazione è significativamente più complessa. Per avere un quadro più realistico dei modi di oscillazione delle funi di sospensione, dovremo prendere in considerazione fenomeni più complessi di quelli fin qui considerati.

Il sistema “che varia lentamente”

Il primo fattore di complicazione è la questione sollevata dal movimento della cabina stessa dell'ascensore. La nostra immagine semplicistica dei meccanismi di oscillazione si è basata su una cabina di un ascensore ferma; in pratica l'ascensore può essere in movimento, per cui la lunghezza delle funi di sospensione varia nel tempo. La massa sospesa M(t) e la lunghezza della fune L(t) sono ora funzioni del tempo. La massa sospesa M(t), che ancora non tiene conto della massa delle funi di sospensione, varierà a causa della variazione della massa delle funi/catene di compensazione e dei cavi mobili sospesi dalla cabina mentre l'ascensore attraversa il vano corsa. Anche nel nostro modello semplicistico, la rigidità k varierà al variare della lunghezza delle funi, variando la frequenza longitudinale ꙍ_u0, e, naturalmente, la variazione di lunghezza influenza direttamente le frequenze laterali ꙍ_xn.

Kaczmarczyk^[1] ha mostrato che possiamo definire un parametro adimensionale

dove V è la velocità nominale dell'ascensore (mps), ꙍ₀ rad/s è la frequenza naturale più bassa (laterale o longitudinale) e L(t) è la lunghezza della fune di sospensione (m).[1] Nota che il problema qui non è la velocità delle funi, ma la velocità con cui le funi si accorciano. Di conseguenza, indipendentemente dalla fune (1:1, 2:1, ecc.) il parametro è funzione della velocità dell'ascensore, non della velocità della fune.

Kaczmarczyk (ibid.) riferisce che se possiamo essere soddisfatti che

quindi possiamo definire il sistema come variabile lentamente, nel senso che possiamo prendere una qualsiasi posizione particolare dell'ascensore, che sia in movimento o meno, e trattarla come se l'ascensore fosse fermo.^[1]

Osservando le oscillazioni laterali delle funi, la trattazione elementare di cui sopra suggerisce che la frequenza naturale delle funi sarà

Tuttavia, questa semplice equazione presuppone che la fune stessa abbia una rigidità alla flessione pari a zero e sia orientata orizzontalmente. sole^[2] suggerisce che per una stima più accurata della frequenza naturale media di una sospensione verticale, dobbiamo tenere conto dell'influenza della massa della fune sulla tensione media. La tensione media della fune T deve includere metà del peso della fune, cioè

Includendo le frequenze di oscillazione armonica laterale e la frequenza naturale, l'equazione 4 diventa quindi

Il termine all'interno del segno della radice quadrata suggerisce che la frequenza naturale dell'oscillazione sarà maggiore di quella suggerita dalla semplice analisi di una corda tesa orizzontale, e che con corde più lunghe (cioè, corsa più lunga), la frequenza naturale delle corde non sarà cadere rapidamente come sarebbe previsto dal semplice modello dell'Equazione 4. Tuttavia, la frequenza sarà ancora al minimo quando l'auto è nel punto più basso di viaggio, portando al valore più grande per e. Se definiamo L_max come lunghezza della fune quando l'auto è nel punto più basso della sua corsa normale, quindi

Dato che il carico sulle funi è regolato da norme di sicurezza, possiamo mettere in relazione l'equazione 5 con le caratteristiche della fune tramite il carico di rottura minimo garantito della fune e il fattore di sicurezza.

Definiremo S_fM come fattore di sicurezza nel punto più basso della corsa (variabile, principalmente in base al carico dei passeggeri ma anche a causa delle variazioni della massa sospesa totale lato cabina mentre l'ascensore attraversa il vano corsa), e F_min come carico di rottura minimo specificato per la fune. Con queste definizioni, quindi nel punto più basso del viaggio

Combinando le equazioni 5 e 6, la frequenza naturale media più bassa può essere espressa come

Combinando le equazioni 2 e 7, e dato che, in pratica, le frequenze di oscillazione laterale saranno inferiori alla frequenza longitudinale, il valore maggiore di e sarà

Prendendo le tabelle delle funi per una gamma di funi di sospensione animate in fibra standard, possiamo esaminare il valore di per varie dimensioni di fune e fattori di sicurezza. Non sorprende che la Tabella 1 mostri che per ogni dato valore del fattore di sicurezza S_f, il valore di  non varia in modo significativo nell'intervallo di dimensioni della fune standard tra 11 mm e 19 mm.

Chiaramente, la sollecitazione di trazione del materiale al carico di rottura minimo sarà la stessa, e per una struttura di fune simile, anche il fattore di spazio della fune (area dell'acciaio: area totale) sarà ragionevolmente costante, portando al valore costante per

Con dimensioni della fune significativamente inferiori, come vengono applicate in alcuni progetti speciali, il fattore spazio della fune inizierà a cambiare, modificando il valore calcolato di Naturalmente, durante la progettazione del sistema, verrà determinato il fattore di sicurezza minimo consentito per il caso in cui la cabina dell'ascensore stia trasportando il carico nominale, tenendo conto sia dei requisiti normativi che dei vincoli per ottenere una durata della fune soddisfacente.

Qualsiasi altro carico viene preso in considerazione calcolando il fattore di sicurezza più elevato associato al carico inferiore, ad esempio se il carico nominale è 1200 kg e la massa fissa lato cabina è 1600 kg, se il sistema è progettato per un fattore di sicurezza 16 a carico nominale, il coefficiente di sicurezza con cabina vuota sarà

Se, come stima conservativa, basiamo la nostra analisi su un'auto vuota con fattore massimo di sicurezza 30, allora l'equazione 8 diventa

Ora possiamo investigare e_max per una gamma di velocità e di corsa nominali. A tal fine, considereremo la corsa massima pratica come il minore di 300 m o la distanza di corsa che l'ascensore può completare in un massimo di 60 s, consentendo profili di accelerazione/decelerazione costanti a 1 mps² (vale a dire, ignorando le limitazioni imposte dai requisiti jerk).

Il risultato è mostrato nella Figura 3, a dimostrazione che con questa stima conservativamente alta per il fattore di sicurezza e corsa massima, possiamo dire che a una velocità nominale di 12 mps,

permettendoci di trattare l'ascensore come quasi stazionario. Inoltre, poiché l'esperienza mostra che i problemi sorgono solitamente in prossimità del limite superiore della corsa, nell'area di interesse del vano corsa il valore effettivo di sarà significativamente inferiore a questa stima massima. Si scopre che a una velocità nominale di 12 mps, il valore di e nel punto di rallentamento per il piano terminale superiore è nell'ordine di 0.052.

Il modello dinamico

La Figura 4 mostra un modello dinamico adatto del sistema di ascensore. Al fine di rendere più semplice la matematica dell'analisi, il modello utilizza un "sistema di riferimento mobile". Nel modello, tutte le distanze sono misurate da un'origine mobile situata ad una distanza fissa L_max sopra il tettuccio dell'auto, dove L_max (m) rappresenta la lunghezza della fune di sospensione quando la vettura è nella posizione più bassa. Così, L_T(t) rappresenta la distanza percorsa dall'auto (m); V(t) è la velocità della cabina dell'ascensore (mps); M(t) è la massa lato cabina (kg) inclusa la massa di eventuali funi/catene di compensazione, funi mobili, ecc.; msr è la massa per unità di lunghezza della fune (kg/m); T(t) è la tensione media della fune; A è l'area della sezione trasversale della fune (9 mm2); ed E è il modulo di Young della fune (N/mm2).

Ora abbiamo bisogno di un pensiero molto chiaro. Se le funi sono ferme, cioè non oscillanti, allora possiamo definire una variabile s per rappresentare la posizione di un qualsiasi punto lungo la lunghezza della fune, rispetto alla posizione di riferimento (in movimento). In queste condizioni si può dire che la fune è “indeformata”, poiché è tesa solo dalla massa sospesa. All'estremo, s = L_max è la posizione media del punto in cui la sospensione incontra la parte superiore dell'auto.

Se una fune inizia a oscillare, verticalmente o lateralmente, si deforma dinamicamente, cioè un dato punto sarà spostato dalla sua posizione di riposo, s metri dal datum, delle (relativamente) piccole quantità ±u (verticalmente) , ±v (laterale nel piano) e ±w (laterale fuori dal piano).

Esaminiamo ora cosa succede se il sistema è in movimento e oscilla. Assumeremo per il momento che la macchina dell'ascensore e il sistema di controllo siano "molto rigidi", cioè, eventuali oscillazioni nelle funi non si propaghino oltre il punto in cui le funi entrano in contatto con la puleggia (le oscillazioni potrebbero esse stesse essere avviate dall'oscillazione propagato dalla macchina e/o dal sistema di controllo, ma poiché stiamo osservando la dinamica delle funi stesse, assumiamo qui che non vi sia alcuna “funzione forzante” proveniente dalla puleggia). Poiché, in termini di movimento attraverso il vano corsa, il sistema è "lentamente variabile", possiamo considerare il movimento di un punto in posizione s lungo le funi come se l'ascensore fosse effettivamente fermo tranne che per le oscillazioni. In queste circostanze, l'energia totale nel sistema sarebbe costante, e possiamo applicare il Principio di Hamilton [1], che afferma che nel tempo, l'integrale temporale della differenza tra l'energia cinetica e potenziale nel sistema sarà stazionario. Si noti che nel contesto dell'elasticità delle funi, l'energia potenziale del sistema include l'energia di deformazione nelle funi stesse. In termini matematici,

dove δ rappresenta la variazione, KE è l'energia cinetica del sistema, PE è l'energia potenziale gravitazionale e SE è l'energia di deformazione.

Sii molto chiaro su cosa significa l'equazione 10 e cosa no. Se la cabina dell'ascensore sta accelerando verso il basso, l'energia cinetica totale del sistema aumenta a causa dell'accelerazione e l'energia potenziale totale si riduce, poiché il movimento è nella direzione discendente (assumendo che la massa della cabina sia maggiore della massa del contrappeso ). Al contrario, se l'auto rallenta durante la corsa in salita, l'energia cinetica totale si riduce, mentre l'energia potenziale totale aumenta.

Tuttavia, non è questo il problema di cui stiamo discutendo qui. Invece, stiamo facendo una "istantanea" della cabina dell'ascensore in movimento in un punto del vano corsa e osserviamo come l'energia nel sistema in quell'istante viene trasferita tra il movimento oscillatorio delle funi (˙u, v˙, w˙ , e ü, ¨v, ¨w), la posizione del punto sulle funi (u, v, w) e l'energia di deformazione nelle funi. Ovviamente u, v, w e le loro derivate temporali varieranno a seconda di dove li misuriamo lungo la fune, cioè dipenderanno non solo dal tempo, ma anche da s, la posizione lungo la fune, così che al momento quando prendiamo la nostra istantanea, ognuno è una funzione sia di s che di t. Di nuovo, in termini matematici

Per andare oltre con questa analisi, dovremmo addentrarci nella matematica della meccanica classica. Tuttavia, per l'ingegnere dell'ascensore, è il risultato dell'analisi che è importante, non l'analisi stessa. Il risultato è un insieme di equazioni differenziali che descrivono il moto oscillatorio. Non tenteremo qui alcuna soluzione di queste equazioni, ma le presenteremo semplicemente per dimostrare che i tre spostamenti u, v e w sono interdipendenti.

Una serie di tre equazioni

descrive il moto di un punto sulle funi di sospensione, mentre una quarta equazione

descrive il moto oscillatorio della cabina dell'ascensore. Si noti che questa equazione finale viene valutata nella posizione s = L_max, cioè nella posizione media in cui la sospensione incontra la parte superiore dell'auto. In questa posizione, v = w = 0, poiché le funi non possono muoversi lateralmente dove sono attaccate all'auto, quindi l'equazione non include alcun termine relativo a v e w o loro derivati.

Sebbene questo insieme di quattro equazioni sia estremamente complesso, il punto di interesse per l'ingegnere dell'ascensore è semplicemente che tutti e tre i movimenti u, v e w compaiono in ciascuna equazione differenziale dell'insieme che descrive le oscillazioni della fune. Ciò indica che i tre movimenti sono accoppiati l'uno all'altro e interagiranno. Pertanto, un'oscillazione laterale delle funi può generare un'oscillazione longitudinale e viceversa, e qualsiasi e tutti i modi di oscillazione porteranno a oscillazioni della cabina dell'ascensore.

È abbastanza chiaro che in ogni istante, la tensione media in qualsiasi punto della fune di sospensione sarà

Nota che poiché stiamo assumendo che le funi stiano oscillando, questa è la tensione media. La tensione istantanea effettiva dipenderà dall'ampiezza e dalla frequenza delle oscillazioni.

Dall'insieme di equazioni differenziali di cui sopra, le frequenze naturali delle oscillazioni longitudinali possono essere determinate dall'equazione

dove si_n sono le soluzioni di

e L(t) = L_max - L_T(t) (Figura 4)

Quindi, in questa analisi più dettagliata dell'oscillazione della fune, troviamo che, contrariamente alla previsione semplicistica dell'Equazione 1, ci sono possibili (e probabili) "armoniche" della frequenza naturale longitudinale di oscillazione delle funi.

In base al criterio della "variazione lenta", possiamo utilizzare l'equazione 5 per tenere conto delle oscillazioni laterali in qualsiasi punto del vano corsa:

Come abbiamo fatto in precedenza, possiamo sostituire nelle equazioni 13 e 14 dalla relazione

trattando la variazione della massa sospesa nel tempo come una variazione del fattore di sicurezza, cioè

esprimendo così le equazioni di frequenza in termini di caratteristiche della fune.

C'è un certo numero di possibilità per l'eccitazione delle oscillazioni nelle funi:

• L'eccitazione può essere generata dalla macchina e/o dal sistema di controllo attraverso:
  • Eccentricità puleggia/puleggia
  • Fenomeni ciclici in un riduttore di velocità (es. numero di avviamenti su un albero a vite senza fine)
  • Fenomeni elettromagnetici nel motore (avvolgimenti del rotore asimmetrici nelle macchine a corrente continua, percorsi conduttivi spuri nella struttura del rotore, ad es. bulloni del nucleo non isolati)
  • Instabilità di frequenza nell'azionamento del motore

• Pattini di guida a rulli eccentrici
•  Ingresso impulsivo da uno o più giunti di guida
•  Disallineamento della guida
•  Può accadere che una o più frequenze di risonanza longitudinali previste dall'Equazione 12 coincidano con una frequenza laterale prevista dall'Equazione 14.
• L'edificio stesso può avere frequenze di risonanza coincidenti con una o più delle frequenze previste dall'Equazione 12 e/o dall'Equazione 14.

Esempio

Considera un ascensore con i seguenti parametri:

• Massa fissa lato vettura P 1600 kg
• Carico nominale Q 1250 kg
• Fattore di ritorno r 2:1

Lunghezza della fune di sospensione

• con vettura in posizione più bassa L₀ 60 m
• Numero funi di sospensione n_R 6
• Numero funi di compensazione n_CR 4
• Numero di cavi viaggianti n_TC 3
• Massa fune di sospensione/mm_R 1.2 kg / m
• Compensazione fune massa/mm_CR 1.6 kg / m
• Massa cavo viaggiante/mm_trav 0.5 kg / m

Supponiamo che la velocità nominale sia di 3.5 mps e che la puleggia di trazione abbia un diametro di 560 mm ma sia leggermente eccentrica, generando un disturbo longitudinale alle funi di sospensione con una frequenza di circa 4 Hz quando l'ascensore funziona alla velocità nominale. Le prime quattro frequenze naturali longitudinali calcolate delle funi di sospensione X ꙍ_0u ,_2u,_3u e_4u) sono mostrate in Figura 5 tracciate rispetto alla lunghezza della fune di sospensione.

Sulla trama sono sovrapposte aree ombreggiate che indicano le posizioni dei piani dell'edificio. Ogni posizione del piano si trova al confine di un'area ombreggiata come mostrato. Dal diagramma è chiaro che la frequenza longitudinale fondamentale (ꙍ_4u) è piuttosto basso, come si potrebbe prevedere per esperienza.

Tuttavia, quando osserviamo la seconda, la terza e la quarta frequenza di risonanza, vediamo abbastanza chiaramente come queste aumentino quando l'ascensore si avvicina alla posizione più alta. In un azionamento a motore collegato alla frequenza di rete (ad es. un azionamento CC a tensione variabile), è probabile che ci sarà un certo livello di eccitazione generato dall'azionamento a 300 Hz o 600 Hz (basato su un'alimentazione a 50 Hz ) o 360 Hz o 720 Hz (basato su un'alimentazione a 60 Hz). Chiaramente, in un certo numero di punti tra l'11° e il 13° piano, tale eccitazione coinciderà con una delle frequenze naturali della sospensione e potrebbe generare una vibrazione associata nella cabina dell'ascensore - un fenomeno di vibrazione transitoria quando l'ascensore si avvicina alla piani superiori, che si osserva bene nella pratica, come abbiamo indicato nella Figura 1.

Se ora consideriamo le frequenze laterali (Figura 6), al diagramma è sovrapposta la variazione della frequenza naturale longitudinale fondamentale (più bassa) (linea tratteggiata). L'orizzontale (doppio I nove punti in cui c'è una coincidenza tra la frequenza della puleggia e una delle frequenze naturali sono indicati da cerchi, a partire da una coincidenza situata tra il primo e il secondo piano dove coincide la frequenza longitudinale. Questa bassa frequenza potrebbe essere significativa in quanto potrebbe eventualmente eccitare una frequenza naturale delle funi di compensazione, provocando l'oscillazione della fune sotto la cabina o l'oscillazione della massa di compensazione.

Di particolare interesse è la coincidenza tra la seconda armonica della frequenza della puleggia, la frequenza fondamentale longitudinale e la quarta frequenza laterale a circa 7.5 Hz appena sopra l'undicesimo piano, con un'ulteriore coincidenza tra la seconda frequenza laterale e la frequenza fondamentale della puleggia a circa 11 Hz quasi nella stessa posizione. C'è un'ulteriore coincidenza di risonanze mentre l'ascensore arriva all'ultimo piano. Si potrebbe prevedere che questo ascensore potrebbe avere dei seri problemi di vibrazione, in particolare intorno all'undicesimo piano.

Sintesi

Le vibrazioni transitorie in determinati punti all'interno del vano ascensore sono un fenomeno ben noto. Le linee tratteggiate) mostrano la posizione della frequenza fondamentale e della seconda frequenza armonica della puleggia eccentrica.

considerando la sospensione dell'ascensore come un sistema a variazione lenta, le equazioni dinamiche per gli spostamenti laterali e longitudinali possono essere stabilite mediante l'applicazione del Principio di Hamilton, il quale suggerisce che la variazione nell'integrale temporale della differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale del il sistema è stazionario nel tempo, cioè

L'insieme di equazioni differenziali non lineari che risulta dall'analisi indica chiaramente che esiste un accoppiamento incrociato tra le oscillazioni longitudinali e laterali nelle funi. Di conseguenza, se in qualche punto del vano corsa le frequenze proprie longitudinali e laterali coincidono, c'è la probabilità che questo accoppiamento incrociato ecciti una vibrazione transitoria nell'auto. L'esempio numerico dimostra che esiste la possibilità di oscillazioni transitorie in diversi punti del vano corsa, in particolare vicino ai piani superiori, dove le influenze di forzatura esterne come l'eccentricità della puleggia minore possono coincidere con una o più delle frequenze naturali del sistema.

Mentre è utile spiegare the source di tali vibrazioni transitorie e per essere in grado di prevedere dove e come potrebbero sorgere, un ingegnere pratico si chiederà quali misure palliative o curative possono essere prese per ridurre o eliminare l'effetto. L'esperienza dimostra che questa è tutt'altro che una cosa semplice. Le frequenze di risonanza sono una funzione della tensione della fune e della lunghezza della fune, il che rende abbastanza difficile spostare la risonanza fuori strada, poiché questi parametri sono fondamentali per l'installazione dell'ascensore. Aumentare la massa dell'ascensore abbasserebbe le frequenze di risonanza, ma ciò significherebbe probabilmente che la risonanza si sarebbe semplicemente spostata in una posizione più in alto del vano corsa. Sarebbe fortuito se fosse possibile abbassare le frequenze di risonanza a sufficienza per spostare la posizione della risonanza oltre il punto più alto della corsa.

Il maggior contributo al problema deriva dalle caratteristiche della fune. Come abbiamo notato all'inizio della discussione, la costruzione convenzionale in fune d'acciaio fornisce un elemento di sospensione con uno smorzamento molto ridotto, cioè, una volta che la vibrazione è iniziata, non c'è molto nella costruzione della fune per assorbire o dissipare l'energia della vibrazione. È l'assorbimento/dissipazione dell'energia di vibrazione che è la chiave per alleviare le vibrazioni trasmesse dalla corda. I nuovi materiali per funi come il Kevlar® hanno migliori caratteristiche di smorzamento e dovrebbero essere meno soggetti al problema. Tuttavia, questi tipi di fune non trovano (ancora) un'applicazione universale e, sebbene stiano diventando sempre più comuni, non è stata ancora acquisita una vasta esperienza di servizio come quella disponibile con le tradizionali funi in acciaio.

Diversi autori hanno proposto una serie di metodi per smorzare l'oscillazione della fune nelle funi di compensazione e sospensione. ^{[1,3 e 6]} Robertson^[3], Barker^[4] e Traktovenko^[5] dispongono di metodi meccanici brevettati per limitare l'ampiezza dell'oscillazione della fune in uno o più punti tra la cabina dell'ascensore e l'estremità del vano corsa. Salmone e Hiller^[6] brevettato un sistema di ancoraggio idraulico per il compensatore per ridurre al minimo l'oscillazione nelle funi di compensazione.

È ipotizzabile che un ancoraggio intelligente e attivo sulla cabina dell'ascensore possa essere utilizzato per isolare la cabina da qualsiasi oscillazione delle funi di sospensione, ma un tale sistema sarebbe complesso. Tenendo presente che l'ancoraggio della fune è fondamentale per l'integrità della sospensione, le implicazioni sulla sicurezza di un tale approccio richiederebbero anche un'indagine considerevole e potrebbero avere difficoltà nel contesto dei requisiti di sicurezza essenziali inerenti ai codici di sicurezza degli ascensori.

Referenze
[1] Kaczmarczyk, S., (1997) Il passaggio attraverso la risonanza in un sistema di sollevamento del cavo verticale a catenaria con lunghezza che varia lentamente, Journal of Sound and Vibration, vol. 208 (2), pp. 243-269
[2] Sun, L., (1995) Oscillazione dell'edificio e vibrazione della fune dell'ascensore, parti I, II e III. ELEVATOR WORLD, Vol. XLIII, n. 3, 4 e 5
[3] Robertson, LE, (1992) Sistema di minimizzazione dell'oscillazione per cavi per ascensori, brevetto USA 5,103,937
[4] Barker, FH, (1999) Sistema e metodo per ridurre al minimo le vibrazioni orizzontali delle funi di compensazione dell'elevatore, brevetto USA 5,861,084
[5] Traktovenko, BG, Erlandson, PO, (1999) Braccio oscillante per prevenire l'oscillazione delle funi degli ascensori, brevetto USA 5,947,232
[6] Salmon, KJ, Hiller, IA, (1985) Fissaggio idraulico per ascensori, brevetto USA 4,522,285